Estudo dirigido para Ap2 de Matemática

Resumo de Matemática

Matemática na educação 1. v. 2/ Andrea Carvalho Maciel Barbosa, Gabriela dos Santos Barbosa, Rosana de Oliveira, Stella Maria Peixoto de Azevedo Pedrosa, Ana Lúcia Vaz da Silva, Beatriz Heleno Magno, Luiz Pedro San Gil Jutuca, Maria Tereza Serrano Barbosa. - Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2009.


AULA 20 – ALGORITMOS DA MULTIPLICAÇÃO: O professor deve incentivar seus alunos através de brincadeiras e jogos, a construir seus próprios algoritmos e depois fazer o registro das etapas percorridas para chegar ao resultado de sua questão. Para a construção do algoritmo o aluno deve seguir um caminho no qual tenha experiências diversas : construção de tabelas em forma de adições sucessivas, compreensão das propriedades distributiva, associativa e comutativa, conhecimento das propriedades da multiplicação, para multiplicar um número por dez,cem ou mil e só acrescentar os zeros.Construindo seu próprio algoritmo , o ensino da matemática deve ter como objetivo explicito preparar o aluno para lidar com atividades praticas que envolvam aspectos quantitativos da realidade, podendo perceber que um problema pode ser resolvido de varias formas e que ele se sinta seguro para propor suas soluções pessoais e aprenda comunicar-se matematicamente.Orientações didáticas; a forma mais usual é considerar a multiplicação como a soma de parcelas iguais(raciocínio aditivo) porém esta não é a única forma, por meio de exploração de outras idéias o aluno constrói o raciocínio multiplicativo e pode propor diferentes caminhos para a solução. Todos os problemas devem ser propostos para os alunos em formas de ações, simulações de um contexto ou de brincadeira. Porém qualquer atividade deve vir acompanhada de pedido para apresentar soluções por meio de registro, a importância dessa atividade crescerá a medida em que o professor conseguir tirar dela indícios de como o aluno está pensando, para , por intervenções adequadas, poder ajudá-lo na construção do seu conhecimento, o uso da linguagem e simbologias associadas a um conceito favorece a sua construção por parte dos alunos, o registro não é só um meio de comunicação entre o professore o aluno mas um elemento fundamental no processo de conceitualização.AULA 21 – O USO DA CALCULADORA: SIM OU NÃO? A calculadora é um instrumento que pode contribuir para a melhoria do ensino na matemática podendo ser usado como instrumento motivador na realização de tarefas exploratórias e de investigação (PCN, de 1997).È considerado como um instrumento simples, podendo variar, em algum modelos, a disposição de teclas e a nomenclatura, composta de algarismos de 0 a 9, de quatro operações fundamentais, tecla on/CE. Na utilização de qualquer recurso didático, ocorre uma mudança de perspectiva, e,para que o aprendizado aconteça, o aluno deve transpor as características do material, no caso da calculadora, e compreender as ações realizadas nas atividades. É importante esclarecer que tirar o foco dos procedimentos não significa abrir mão de ensiná-los, mas de não considerar os algoritmos como essência da matemática. A necessidade e o hábito de fazer cálculos e estimativas levam a compreensão dos significados das operações fundamentais e a habilidade com os algoritmos. Por meio de atividades diversificadas, como conta com algoritmos e exploração de situações, pode-se melhorar a compreensão dos algoritmos e procedimentos, além de dar significado ao aprendizado de matemática.Saber utilizar diferentes fontes de informação e recursos tecnológicos para adquirir e construir conhecimentos. Questionar a realidade formulando-se problemas e tratando de resolvê-los, utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade de intuição, a capacidade de análise critica, selecionando procedimentos e verificando sua adequação (PCN, de 1997-BRASIL. MEC,1997).AULA 22 – DIVISÃO:ALGORITMO. Apresentar problemas ligados a vivência dos alunos é de fundamental importância. O entendimento e de um algoritmo decorre de sua importância na resolução de um problema e da necessidade de aplicá-lo, quando não se é capaz de resolver a operação de cabeça. N a divisão existem dois conceitos principais: o de partilha e o de medida. É importante que o aluno compreenda o que está fazendo, e não decore o processo de forma mecânica. Para que o aluno de fato aprenda, ele precisa ter interesse na atividade e reconhecer o que esta fazendo, ou seja, compreender o porquê de cada passo realizado. UM algoritmo é um método, com orientações definidas, pra se realizar uma tarefa, mas sua aprendizagem não se limita a à memorização de uma seqüência de passos. È preciso reconhecer o que se está operando e compreender o porquê da ação. Cabe ao professo conciliar as soluções corretas que lhe foram apresentadas por seus alunos, por isso é importante que o aluno crie seu próprio algoritmo. A apresentação da situação problema cuja solução envolva os conceitos de medida ou partilha relacionados a uma divisão pode ser o mote para que os alunos proponham vários algoritmos para encontrar a solução. Os Métodos complexos: método de divisão (BOYER,1996), método de riscar ou método do galeão (BOYER,1996). Os processos mentais, devem ser apresentados aos alunos como um levantamento de possibilidades, de diferentes caminhos de ação que alcançam o mesmo resultado.Procedimentos de cálculos. Processo longo. O procedimento longo pra o cálculo do quociente vincula-se a idéia de repartir igualmente, reproduzindo exatamente o que uma criança faz quando deseja repartir uma determinada quantidade de objetos, a introdução desse método é feita através de subtrações sucessivas. Com o tempo e pela pratica os alunos perceberão que a distribuição de um em um pode ser extremamente demorada e se praticarem a estimativa, não terão dificuldades em realizar a divisão pelo processo longo. Processo abreviado. No processo abreviado procuramos o maior número possível para ser colocado no quociente, e assim, obtemos o resto menor que o divisor, pela vivencia de diferentes atividades os alunos descobrirão que ao se procurar o múltiplo do divisor que mais se aproxima do dividendo, o resto deverá ser sempre menor que o divisor, compreendendo as etapas não terá dificuldade em trabalhar com números maiores. A divisão é uma operação complexa que requer conhecimento de multiplicação, subtração e adição, assim a divisão deverá ser apresentada por meio de situações didáticas gradativas que despertem o interesse do aluno e lhe permitam aos fatos fundamentais da operação. Aula 23: MATERIAIS CONCRETOS. são aqueles em que é possível pegar, ver, sentir, porém dentro da perspectiva construtivista a aprendizagem se efetiva na relação entre sujeito e objeto, é preciso que o aluno possa manipulá-lo e além disso propostas de atividades desafiadoras devem ser apresentadas ao aluno junto com o material. Não existe material ideal: a decisão sobre a sua utilização deve levar em conta o conhecimento do professor a cerca de seus alunos e o seu conhecimento acerca das diferentes alternativas de que dispõe para o trabalho. O professor não pode subjugar sua metodologia de ensino a algum tipo de material, porque ele é atraente ou lúdico. Nenhum material é válido por si só. Os matreriais e seu emprego sempre devem estar em segundo plano. A simples introdução de jogos e atividades na matemática não garante uma melhor aprendizagem desta disciplina (FIORENTINI; MIORIM, 1993) .Materiais estruturados e não estruturados. Os materiais estruturados são aqueles que foram pensados e idealizados para se trabalhar conceitos e conteúdos predeterminados: o material dourado e as réguas de Cuisinaire são exemplos de materiais estruturados. Os materiais não estruturados são aqueles que não foram criados para esse fim, mas de fazemos uso didático. Canudos, palitos, grãos, elásticos e copos são exemplos de materiais não estruturados. Materiais que contribuem para a construção do conceito de número: qualquer material que possa ser agrupado e classificado poderá ser utilizado em atividades que envolvem essas ações. As sucatas também favorecem a atividades dessa natureza. Por meio de diferentes embalagens trazidas pelos alunos, eles podem classificar por formas, tamanhos, tipos de material e até pelo tipo de produto que contêm. Blocos lógicos ao se trabalhar com blocos lógicos na construção do conceito de números dispomos de várias atividades que dispomos as peças de acordo com os atributos cor, tamanho, forma e espessura, questionando situações de classificação e agrupamentos. São matérias manipuláveis estruturados e de grande importância para trabalhar classificação e seriação nas séries iniciais. Possuem quatro atributos, cor, forma, espessura e tamanho. O atributo cor possui três valores amarelo, azul e vermelho. O atributo forma possui quatro valores: triângulo, quadrado, retângulo e circulo. O atributo espessura possui dois valores: fino e grosso. O atributo tamanho possui dois valores: pequeno e grande. Uma crítica é feita a esse material por ele tratar o conjunto dos quadrados e retângulos como disjuntos. Teoricamente é um erro, pois todo quadrado é um retângulo, assim, o conjunto dos quadrados é um subconjunto dos retângulos. Apesar disso defendemos seu uso, pois possibilita a exploração de varias atividades de classificação e seriação. Materiais que contribuem para a compreensão do sistema de numeração decimal e as operações: o material dourado de Montessori destina-se a atividades que auxiliam o ensino e a aprendizagem do sistema de numeração decimal, e dos métodos para efetuar as operações fundamentais. No ensino dito tradicional, as crianças acabam dominando os algoritmos a partir de treinos cansativos, mas sem conseguirem compreender o que fazem, com o material dourado as relações numéricas abstratas passam a ter uma imagem concreta, facilitando a compreensão, além da compreensão dos algoritmos, um notável desenvolvimento do raciocínio e um aprendizado agradável. O material dourado faz parte do conjunto de materiais idealizados pela médica e educadora italiana Maria Montessouri. O professor pode trabalhar situações de : Reconhecimento do material, nunca 10, representação no sistema decimal, decomposição e operações. Os ábacos .neles os cálculos podem ser efetuados na base dez, os arames representam da direita para a esquerda, as unidades, as dezenas, as centenas etc. as contas situadas acima da barra horizontal valem cinco (unidades, dezenas,centenas...). Réguas de Cuisenaire esse material é composto por réguas de tamanho de 1 a 10, em cada tamanho está associado a uma cor, com elas podemos elaborar atividades sobre a construção do conceito número, comparação, operações e relações entre números e medidas. Jogos com operações: as atividades lúdicas favorecem o desenvolvimento de habilidades tais como a capacidade de pensar, raciocinar e resolver situações-problemas, levando o aluno a construir o conhecimento matemático e a desenvolver sua concentração, curiosidade, companheirismo e autoconfiança podendo trabalhar na construção de conceitos, mas na maioria atua na sistematização de determinado conteúdo.Ex jogos de memória e domino, jogo do zigue-zague. Materiais que contribuem pra desenvolver a visão geométrica: é fundamental desenvolver a visualização que é o primeiro nível de desenvolvimento do pensamento geométrico, existem diversos materiais em que podemos explorar essas características. EX. Origami. Existe uma diversidade de materiais, estruturados ou não, par o trabalho em sala de aula, cabe ao professor selecionar, elaborar pesquisar sobre as possibilidades década material, o valor esta nas tarefas que o aluno desenvolve e o material contribui para que ele crie ações mentais relevantes.
AULA 24 FORMANDO E FORMALIZANDO CONCEITOS:há etapas na formalização de um conceito matemático. Não é das primeiras experiências que envolvem o conceito que obteremos elementos suficiente par formalizá-lo com todo que encontramos no meio acadêmico rigor matemático. Um conceito esta associado a muitos outros, a várias representações e a situações diversas. A formação é um processo longo que se estabelece por vários anos de estudo e é necessário retornar-se em diferentes momentos da vida escolar. Como a formação e a formalização se influenciam, pois não é possível formalizar um conceito que não está minimamente formado nem é possível avançar na formação de um conceito sem tê-lo, de algum modo, formalizado, podemos dizer que a formalização também é um processo longo que deve ser iniciado desde os primeiros anos do ensino fundamental. Cabe ao professor ao final de cada atividade, incentivar a análise das situações, a observação, de regularidades, o levantamento e o teste de hipóteses e o registro das idéias construídas, assim, estará criando condições para que os alunos iniciem os processos de formação e formalização de conceitos.EX. existe uma série de conceitos envolvendo jogos é preciso refletir sobre o jogo: as estratégias empregadas, possíveis mudanças de regras e as suas conseqüências, identificar idéias relativas aos números que são válidas em outros contextos, registrar várias maneiras os números envolvidos.Em outras maneiras iniciar o processo de formalização dos conceitos e quando paralela a construção do conhecimento, pode organizá-lo melhor, complementando-o ou até reformulando-o. Para formar e formalizar os conceitos associados ao sistema de numeração decimal, é recomendável que os alunos tenham a experiência de troca com vários materiais, o professor deve propor questões que lhes permitam perceber o que não muda de uma situação vivida com um tipo de material para outra, com material diferente, o que chamamos de invariantes das situações. É fundamental que o professor incentive o registro das situações com várias linguagens, entre elas, a linguagem matemática. O levantamento dos invariantes das situações e o registro das idéias vivenciadas em cada uma em diferentes linguagens e estratégias pra a formação e a formalização de outros conceitos, não somente daqueles associados diretamente ao sistema de numeração decimal. No bloco de grandezas e medidas é sugerido que os alunos aprendam a medir outras grandezas como a massa do corpo, sua temperatura, o tempo, o volume de um sólido ou uma superfície. Embora distintas há aspectos conceituais sobre a ação de medir que não variam de uma para outra. A formação e formalização dos conceitos sugeridos em cada bloco não ocorrem de forma independente. AULA 25 TECNOLOGIAS: Para a educação,uma das maiores das contribuições das Tecnologias de Informação e Comunicação- as TIC- é o suporte que proporciona para o desenvolvimento de diferentes habilidades, além da análise, a comunicação, o uso da informação e a colaboração contribuem para a resolução de problemas, uma atividade fundamental para o processo de aprendizagem da matemática. A simples presença da tecnologia não garante qualquer resultado em sala de aula é necessário uma proposta pedagógica que possa ser efetivamente aplicada. A utilização da tecnologia na sala de aula só auxiliará o desenvolvimento de uma educação transformadora se for baseada em um conhecimento que permita ao professor interpretar,refletir dominar criticamente a tecnologia (SAMPAIO, 1996). Um exemplo é a calculadora que para alguns obstruiria o desenvolvimento do raciocínio, pra outros contribuiria para a compreensão dos conteúdos, a medida que liberaria o usuário do tédio dos cálculos.Utilizá-las é uma habilidade desejável e importante, sendo, para isso, essencial compreender lógico de cada operação e avaliar a ordem de grandeza de seus resultados.Para um problema precisamos compreende-lo par definir as operações necessárias para a sua resolução, isto a máquina não faz.. A avaliação da ordem das grandezas do resultado permite que se identifiquem, rapidamente, alguns erros de digitação. Não podemos deixar ao acaso o desenvolvimento de habilidades que já são claramente um fator de diferenciação cultural entre as classes sociais e que pode significar a diferença entre sociedades desenvolvidas e dependentes. Jogos eletrônicos muitos jogos desenvolvem etapas básicas para a resolução de problemas que consistem, segundo POLYA (1978); 1ª. Etapa: compreender o problema- estudar os dados do problema, 2ª etapa:elaborar um plano- planejar a execução do problema , 3ª. etapa executar o plano- colocar o planejamento em ação, 4ª etapa fazer a retrospectiva ou verificação- examinar a solução obtida.VIDEOS, DVDS E TELEVISÃO: SE FORMOS UTILIZA-LOS EM NOSSAS AULAS TEREMOS QUE PENSAR COM CUIDADO em que tipo de atividades eles podem contribuir. O COMPUTADOR, é uma m´quina que opera com informações, sendo assim o usuário precisa estabelecer uma forma de comunicação e par isso deve seguir regras específicas. Na educação são inúmeros os benefícios que podem ser proporcionados pelos computadores, tais como: auxilia no processo de construção do desenvolvimento, desenvolve autonomia do aluno, reduz o tempo necessário par realizar determinadas atividades, ser utilizado como fonte de informação e meio de comunicação potencializado pela internet. O papel do professor é o de elaborar atividades bem planejadas e acompanha o aluno durante a realização destas, mediando o processo. O professor deve ser o organizador, um consultor e principalmente um pesquisador. O computador pode ser usados na realização de atividades que permitam ao aluno experiências muito abrangentes, podemos assim promover situações onde o aluno classifique, induza, analise, sintetize e abstraia, o trabalho pode contribuir para que os alunos lidem melhor com a linguagem matemática, interpretando códigos, gráficos, lendo tabelas etc A utilização da internet pelos professores permite e contribui para a formação inicial e continuada, sendo necessários alguns cuidados devendo analisar a credibilidade do material.
AULA 26 A GEOMETRIA E SEU ENSINO: As noções geométricas são indispensáveis pra um bom convívio social, sendo útil na resolução de problemas do cotidiano doméstico e das profissões . São necessários para compreensão das notícias apresentadas nos vários cadernos de jornais, a interpretação de plantas de apartamentos á venda nos classificados requer conhecimentos sobre polígonos e estratégias para o calculo de suas áreas, analises de diversos gráficos muitos comuns para comunicar informações de economia precisamos da noção de ângulos e curvas, entre outras. A geometria e útil no dia a dia e nas profissões , oferecendo possibilidades de organização e representação do conhecimento de sua comunicação, o que seria suficiente pra justificar seu ensino desde as séries iniciais . Entretanto , ela também é útil pra a compreensão de outros conceitos matemáticos. Teremos também , a comparação, a representação e as operações com frações se envolvem com estreita relação com as idéias e equivalência de área. O s conceitos de número quadrado e raiz quadrada, por exemplo, ganham significado quando associados a área de quadrados cujo lado é um numero inteiro positivo. Os conceitos geométricos são úteis na compreensão de outros conceitos científicos, como da física, química, astronomia e geografia. Estudando geometria o aluno pode desenvolver sua percepção espacial esua capacidade de resolver problemas não necessariamente escolares. OS PCN para a área de matemática no ensino fundamental (1º e 2º ciclo ) propõem o ensino de quatro blocos de conteúdos: Números e operações, espaço e forma, grandezas e medidas e tratamento de informações. Os principais conceitos geométricos encontra,-se no bloco espaço e forma. O estudo desses conceitos pode favorecer a compreensão de idéias presentes em blocos e vice-versa. existem sólidos geométricos formados por super­fícies não-planas. O cilindro, o cone e a esfera são os mais conhecidos. Com relação à Geometria, os PCN apontam como objetivos no 1º ciclo:• Estabelecer pontos de referência para situar-se, posicionar-se e deslocar-se no espaço, bem como para identificar relações de posição entre objetos no espaço; interpretar e fornecer instruções, usando ter­minologia adequada.• Perceber semelhanças e diferenças entre objetos no espaço, iden­tificando formas tridimensionais ou bidimensionais, em situações que envolvam descrições orais, construções e representações (p. 65-66).E listam os seguintes conteúdos:• Localização de pessoas ou objetos no espaço, com base em diferentes pontos de referência e algumas indicações de posição.• Movimentação de pessoas ou objetos no espaço, com base em diferentes pontos de referência e algumas indicações de direção e sentido.• Descrição da localização e movimentação de pessoas ou objetos no espaço, usando sua própria terminologia.• Dimensionamento de espaços, percebendo relações de tamanho e forma.• Interpretação e representação de posição e de movimentação no espaço a partir da análise de maquetes, esboços, croquis e itinerários.• Observação de formas geométricas presentes em elementos naturais e nos objetos criados pelo homem e de suas características: arredondadas ou não, simétricas ou não, etc.• Estabelecimento de comparações entre objetos do espaço físico e objetos geométricos - esféricos, cilíndricos, cônicos, cúbicos, piramidais, prismáticos - sem uso obrigatório de nomenclatura.• Percepção de semelhanças e diferenças entre cubos e quadrados, paralelepípedos e retângulos, pirâmides e triângulos, esferas e círculos..Já no 2º ciclo, os objetivos são:• Estabelecer pontos de referência para interpretar e representar a localização e movimentação de pessoas ou objetos, utilizando termi­nologia adequada para descrever posições.• Identificar características das figuras geométricas, perceben­do semelhanças e diferenças entre elas, por meio de composição e decomposição, simetrias, ampliações e reduções. (p. 81).E os conteúdos:• Descrição, interpretação e representação da posição de uma pessoa ou objeto no espaço, de diferentes pontos de vista.• Utilização de malhas ou redes para representar, no plano, a posição de uma pessoa ou objeto.• Descrição, interpretação e representação da movimentação de uma pessoa ou objeto no espaço e construção de itinerários.• Representação do espaço por meio de maquetes.• Reconhecimento de semelhanças e diferenças entre corpos redondos, como a esfera, o cone, o cilindro e outros.• Reconhecimento de semelhanças e diferenças entre poliedros (como os prismas, as pirâmides e outros) e identificação de elementos como faces, vértices e arestas.• Composição e decomposição de figuras tridimensionais, iden­tificando diferentes possibilidades.• Identificação da simetria em figuras tridimensionais.• Exploração das planificações de algumas figuras tridimensionais.• Identificação de figuras poligonais e circulares nas superfícies planas das figuras tridimensionais.• Identificação de semelhanças e diferenças entre polígonos, usando critérios como número de lados, número de ângulos, eixos de simetria, etc.• Exploração de características de algumas figuras planas, tais como: rigidez triangular, paralelismo e perpendicularismo de lados, etc.• Composição e decomposição de figuras planas e identifica­ção de que qualquer polígono pode ser composto a partir de figuras triangulares.• Ampliação e redução de figuras planas pelo uso de malhas.• Percepção de elementos geométricos nas formas da natureza e nas criações artísticas.Entes geométricos Em Geometria, há três idéias intuitivas ou figuras geométricas básicas, que denominamos entes geométricos: o ponto, a reta e o plano. Os pontos formam todas as outras figuras. Retas e planos, por exem­plo, são conjuntos de pontos. Um ponto não possui dimensões e, para representá-los, fazemos a menor marca possível no papel. É impossível representar retas e planos num papel ou no quadro da sala de aula. Por esse motivo, quaisquer representações que fizermos num papel de uma reta ou de um plano corresponderão apenas a par­tes deles. Como eles crescem infinitamente, é impossível representá-los inteiramente.A identificação de pontos, retas e planos é feita usando-se, respectivamente, letras maiúsculas do nosso alfabeto, letras minúsculas do nosso alfabeto e letras minúsculas do alfabeto grego. Ponto, reta e plano são elementos abstratos criados para representar objetos do mundo real. Entretanto, nenhum objeto do mundo real é um ponto ou uma reta ou um plano; afinal todos os objetos do mundo real possuem três dimensões. Tratar objetos do mundo real como se fossem objetos abstratos desde os anos iniciais pode causar obstáculos para um processo de abstração e forma­lização futuros.Sólidos geométricos As figuras geométricas que estão contidas em um plano, isto é, que têm todos os seus pontos em um mesmo plano, são chamadas figuras geométricas planas. As que não estão contidas em um mesmo plano, isto é, aquelas que nem todos os pontos estão em um mesmo plano, são chamadas figuras geométricas espaciais. A maioria dos objetos e das construções que nos cercam são figu­ras geométricas espaciais. Elas possuem três dimensões: largura, altura e comprimento.os sólidos geométricos possuem faces. As faces são as regiões planas que limitam o sólido. O encontro de duas faces é um segmento de reta. Chamamos esse segmento de aresta do sólido. O encontro de três ou mais arestas resulta as formas geométricas podem ser caracterizadas não só pelos elementos da vida real a que se assemelham, mas também pelas propriedades a que satisfazem: presença ou não de regiões planas, presença ou não de regiões não-planas, tipos de faces que possuem (triangulares, retangulares etc.), número de arestas que partem de cada vértice. Outro aspecto que também pode ser levado em consideração para a caracterização dos sólidos geométricos são as várias perpectivas que podemos obter deles. A análise e o desenho das várias vistas de um objeto, entre elas as vistas laterais, frontais ou superior, conduzem-nos à apreensão de novas propriedades e, ao mesmo tempo, favorecem o desenvolvimento de nossa visão espacial como um todo. a planificação dos objetos, encontramos quadrados, retângulos, círculos e outras formas que, de acordo com a definição que apresentamos no início desse item, são figuras geométricas planas. Figuras planas Quando desenhamos a planificação de sólidos geométricos, dese­nhamos figuras planas. Outra maneira de fazer isso é apoiar os sólidos num papel e passar o lápis contornando sua base. As figuras que têm apenas segmentos de reta são polígonos. Por isso, para desenharmos polígonos é comum usarmos réguas ou esquadro. Para desenharmos circunferências, usamos compassos. A circunferência é uma linha curva simples e fechada formada por pontos que têm a seguinte propriedade: todos estão à mesma distância de um certo ponto que nomeamos centro. Essa distância é conhecida como o raio da circunferência. Para desenhá-la, colocamos a ponta-seca do compasso no ponto em que desejamos que seja seu centro e abrimos o compasso na distância que desejarmos que seja o raio. O círculo é a junção da circunferência com seu interior. Um polígono também possui vértices, ângulos internos e externos e diagonais. O encontro de dois lados ocorre num ponto que nomeamos vértice. O segmento de reta que une dois vértices não consecutivos é cha­mado de diagonal. Os ângulos internos são os ângulos formados por dois lados consecutivos. Os ângulos externos são os ângulos formados por um lado do polígono e o prolongamento do lado a ele consecutivo. Como ensinar?Para ensinar um assunto de Matemática, o professor precisa ter à sua disposição uma variedade de materiais que favoreçam a observação pelos alunos das regularidades e propriedades a ele relacionadas. Precisa também fazer um levantamento do vocabulário e dos conhecimentos prévios que os alunos possuem. No caso dos conceitos geométricos, tais necessidades não são diferentes. Na atividade a seguir, você poderá fazer um levantamento sobre materiais favoráveis ao ensino de Geometria nos anos iniciais do Ensino Fundamental.Não basta, entretanto, dispormos de um vasto kit de Geometria, se não criarmos condições para que as crianças os utilizem. Elas precisam vê-los, mas também precisam agir com eles. Como avaliar? A avaliação da aprendizagem de conceitos geométricos, assim como a avaliação da aprendizagem de qualquer assunto, deve ser proces­sual, não pode ser feita em apenas um dia com hora marcada. Para avaliar o professor deve dispor de recursos variados que lhe permitam perceber se os seus objetivos, claramente definidos, estão sendo atingidos.AULA 27 JOGOS MATEMÁTICOS podem ser usados como recurso didático os diversos jogos exigem a utilização de conhecimentos matemáticos, sendo, por isso, importantes recursos pedagógicos. Um cuidado metodológico fundamental e ter pre­viamente ao uso de qualquer jogo ou material pedagógico é estudá-lo e utilizá-lo antes de trabalhar com ele em sala de aula. Uma análise cuidadosa permitirá que reflita sobre a sua utilização e as eventuais dificuldades que poderá representar para seus alunos. Também é funda­mental verificar se ele está de acordo com o conteúdo em estudo e com o estágio da turma. Se for muito difícil ou fácil demais, não despertará o interesse dos alunos.O professor não pode subjugar sua metodologia de ensino a algum tipo de material porque ele é atraente ou lúdico. Nenhum material é válido por si só. Os materiais e seu emprego sempre devem estar em segundo plano. A simples introdução de jogos ou atividades no ensino da matemática não garante uma melhor aprendizagem desta disciplina. (FIORENTINI; MIORIM, 1996, p.9).Os jogos matemáticos permitem a compreensão de conceitos matemáticos e a elaboração, sob uma forma atraente, de estratégias de resolução de problemas. Além disso, rompem com a rotina das aulas, o que, em geral, contribui para o envolvimento dos alunos na atividade. Mas, para não romper o encantamento, é bom permitir que eles possam ser desfrutados por seus alunos.ex.1º jogo: Tangram é formado por sete peças, cuja base é um quadrado. O tangram permite a representação de incontáveis figuras e objetos. A familiaridade com o material contribui para a resolução das muitas propostas que o jogo oferece. Diversos tipos de materiais são utilizados para a confecção do tan­gram: madeira, papel, cartolina, papelão, borracha, feltro, metal etc.A base do tangram é um quadrado. Não existe uma medida padrão para o lado do quadrado, mas é essencial observar que a relação entre as peças que o formam seja proporcional.Nas escolas, é muito utilizado, podendo subsidiar a formação e a compreensão das relações geométricas pela realização de atividades que explorem formas e conceitos. Aos poucos, enquanto manuseiam as peças, os alunos começam a perceber as relações existentes entre elas. com questionamentos que explorem conceitos geométricos.As formas geométricas que compõem o tangram permitem inúme­ras possibilidades de exploração do material, dentre as quais atividades voltadas à concentração e ao desenvolvimento da criatividade, a visuali­zação e o reconhecimento de diferentes polígonos e de suas propriedades, da equivalência entre as figuras geométricas e de sua representação. O tangram também contribui para o desenvolvimento da observação, da organização espacial, do raciocínio e da persistência. Além disso, permite o trabalho cooperativo. OUTRAS UTILIZAÇÕES DO TANGRAM O tangram também é um excelente material para o estudo de áreas. Os casos apresentados a seguir exemplificam essa utilização. Considerando o triângulo menor como unidade de área, podemos determinar a área das outras peças. Os pentaminós podem ser utilizados em diferentes estágios. As crianças menores, ao brincar com eles, desenvolvem os processos de classificação, ordenação e descoberta de padrões. Sua utilização contribui para o senso estético e a criatividade. Os pentaminós também permitem desenvolver a percepção espacial e o raciocínio lógico. São indicados para auxiliarem na compreensão e exploração de semelhanças, simetrias, Os pentaminós podem ser utilizados em diferentes estágios. As crianças menores, ao brincar com eles, desenvolvem os processos de classificação, ordenação e descoberta de padrões. Sua utilização contribui para o senso estético e a criatividade. Os pentaminós também permitem desenvolver a percepção espacial e o raciocínio lógico. São indicados para auxiliarem na compreensão e exploração de semelhanças, simetrias,perímetros e áreas. AULA 28- Avaliandoos livros didáticos Os critérios de avaliação foram estabelecidos a partir de 1995, quando foi realizada uma mesa-redonda intitulada Como melhorar a escolha do livro didático. Desse evento participaram dirigentes e a equipe técnica do Ministério da Educação e Cultura (MEC), várias entidades relacionadas à Educação e à produção de livros didáticos, além de especialistas de diversas áreas do conhecimento. Em outubro de 1995, aconteceu o seminário Livro didático: conteúdos e processos de avaliação, com o objetivo de estabelecer esses critérios para a análise de livros didáticos. Tomando como base tais critérios, e definindo a equipe de avaliadores, que são especialistas das áreas de conhecimento indicados pelo MEC, os livros didáticos foram submetidos a uma primeira avaliação no ano de 1996.Hoje, numa primeira etapa, as coleções são aprovadas ou reprovadas, seguindo os critérios eliminatórios que serão vistos mais adiante. Somente aquelas que atendam aos quesitos mínimos de qualidade serão avaliadas numa segunda etapa, em que as coleções são submetidas aos critérios clas­sificatórios e divididas em categorias conforme indicamos a seguir:Recomendadas com distinção (RD)As obras recomendadas com distinção (RD) são consideradas próximas do ideal representado pelos princípios e critérios definidos. São avaliadas como propostas pedagógicas elogiáveis, criativas e instigantes. Recomendadas (REC)As obras recomendadas (REC) são aquelas que cumprem plena­mente todos os requisitos de qualidade exigidos no processo de avaliação. Segundo os avaliadores, essas obras asseguram ao professor a possibili­dade de um trabalho didático correto e eficaz.Recomendadas com ressalvas (RR)As obras recomendadas com ressalvas (RR) são avaliadas como isentas de erros conceituais ou preconceitos, obedecendo aos critérios mínimos de qualidade, mas que contêm algumas limitações. Desse modo, podem subsidiar um trabalho adequado, desde que o pro­fessor esteja atento às observações, consulte bibliografias para revisão e complemente a proposta. A partir do processo de avaliação dos livros didáticos, realizado pelo governo, as editoras e os autores passaram a produzir livros de melhor qualidade, evitando erros conceituais no desenvolvimento dos conteúdos e informações preconceituosas.De modo geral, os atuais livros didáticos de Matemática estão cada vez mais cheios de atrativos, com a intenção de facilitar a prática do pro­fessor e ser um material motivador para o aluno. Eles vêm acompanhados de folhas de atividades, ideias de avaliações, indicações de locais para pesquisa, dicionários, manual do professor e caderno de respostas. O professor precisa analisar com atenção as coleções, de prefe­rência acompanhado de outros professores. Devido à avaliação, alguns autores fizeram uma espécie de “maquiagem” nos livros, ou seja, ainda apresentam uma linha bastante tradicional, em que só se mudou, o layout, mas a metodologia conti­nua a mesma, sem grandes inovações. Já outros autores apresentam a Matemática de forma realmente inovadora, em que se exige mais estudo e investigação por parte dos professores.Não podemos negar que a avaliação do livro didático fez com que autores e editoras direcionassem as obras para atender às exigências, pois, com o Programa do Livro Didático, o governo fornece às escolas públicas os livros do Ensino Fundamental e do Ensino Médio. Uma coleção recomendada com distinção tem maior probabilidade de ser comprada em grande quantidade.A avaliação do livro didático por parte dos professores, além de ser uma importante forma de aperfeiçoamento, também é um ato político. Assim, o grupo precisa estar bem informado antes de optar por essa ou aquela coleção. A importância doprofessor na avaliação e escolha do livro didáticO É importante lembrar que o professor é o principal condutor do processo de ensino e aprendizagem e que o livro didático não pode ser o único referencial para o desenvolvimento do trabalho pedagógico. O que acontece de maneira geral é que o livro didático cristaliza certos percursos, determinando assim o currículo de Matemática da escola. Sua utilização, na maioria dos casos, ocorre sem grandes alterações ou intervenções, e, dessa forma, o professor se torna um mero coadjuvante na utilização do livro.Os professores devem ser os agentes na definição do currículo de Matemática e, nas escolas, devem promover debates sobre os recursos pedagógicos que poderão ser utilizados, em complemento ao livro didáti­co. Esses materiais diversificados devem levar em consideração a realidade de cada comunidade, suas características sociais e culturais.Nesse sentido, o professor deve ser autônomo em relação ao uso apropriado do livro. A metodologia, as prioridades necessárias, a defi­nição do currículo e a forma de apresentá-lo ao aluno devem ser deter­minadas pela equipe de professores de Matemática de cada escola.O processo de escolha do livro, que acontece de quatro em quatro anos, é algo muito importante e decisivo para a equipe de professores e, portanto, exige dos educadores envolvidos uma grande responsabilidade e atenção. É mais uma tarefa árdua, que requer tempo e envolvimento profissional, mas que não pode ser feita por outro profissional que não seja o professor, pois é ele quem utiliza o livro e é o principal responsável pelo processo de ensino e aprendizagem.O livro didático, no Brasil, é o mais importante instrumento de apoio ao trabalho do professor, mas não deve ser o único. Mesmo o melhor dos livros pode ter exercícios e atividades substituídos, alterados ou complementados pelo professor. Além disso, a escolha de um bom livro didático não diminui a necessidade de consultar uma bibliografia adicional, ou seja, sempre que puder e necessitar, o professor deve lan­çar mão de textos complementares para aprofundar conteúdos, suprir lacunas ou completar e ampliar informações.A tarefa de avaliar é uma forma de pesquisa e atualização; é neces­sário que o professor utilize as várias coleções que a escola recebe como fontes de informação. Cabe a ele aproveitar as atividades, os jogos e os fatos históricos trazidos nas coleções. Mesmo decidindo por uma coleção, ele não precisa deixar de usar atividades contidas em outras. Importantes aspectos daMatemáticaaseremobservados nos livros didáticosDe um modo geral, até bem pouco tempo, a maioria dos livros didáticos de Matemática fundamentava sua proposta pedagógica princi­palmente na memorização de conteúdos e na manipulação mecânica de algoritmos, não se preocupando em fazer com que o aluno adquirisse os conhecimentos matemáticos de forma autônoma e crítica, permitindo-lhe a resolução de variados problemas, em diferentes contextos.Os professores, por sua vez, reproduziam a metodologia do livro didático, isto é, aulas totalmente expositivas, com a teoria, os exercícios de fixação e mais exercícios propostos e uma avaliação baseada exatamente na forma trabalhada em sala. O resultado disso é que os alunos, em sua maioria, memorizavam ou aprendiam mecanicamente e, passado algum tempo, não se lembravam mais do que haviam estudado. Infelizmente, essas práticas ainda estão bastante presentes em muitas de nossas escolas.Concordando ou não com a ação do Governo Federal de avaliar os livros didáticos, houve uma melhora considerável na forma de apresentar os conceitos matemáticos. Atualmente, o professor pode dispor de livros em que as atividades principais nas aulas de Matemática não são as de memorização ou de aplicação mecânica de procedimentos. Está havendo realmente uma pesquisa por parte dos autores, na tentativa de proporcio­nar ao professor e ao aluno um ensino de Matemática mais motivador, contextualizado e com mais situações significativas para os alunos.O bloco Tratamento da Informação ganhou força e abordagens diferenciadas, pois novos conteúdos e atividades foram incorporados a esses livros, como a leitura, a interpretação e a elaboração de gráficos e tabelas. Em alguns livros, assuntos referentes a esse bloco, tais como raciocínio combinatório, probabilidade e estatística, vêm em capítulos separados; já em outras obras, esses tópicos aparecem ao longo dos capítulos. É importante que os professores discutam os dois encaminha­mentos e decidam qual o mais adequado à sua “realidade”. Dessa forma, estarão também discutindo a organização do programa de Matemática; com a reflexão, o grupo cria o hábito de reformular e ajustar o currículo tornando-o cada vez mais dinâmico e atual. Os avaliadores apontam que, de maneira geral, o Tratamento da Informação fica isolado em capítulos estanques, em vez de permear toda a obra; assim, não há uma articulação e integração entre os quatro blocos da Matemática escolar. Observe que, apesar da indicação dos avaliadores de que os con­teúdos devem permear toda a obra, autores que apresentam em suas coleções a Matemática em blocos separados também possuem suas obras recomendadas com distinção. As atividades lúdicasNa avaliação dos livros didáticos, é preciso levar em conta também como são trabalhadas as atividades lúdicas, principalmente os jogos. É importante observar se o autor, ao desenvolvê-las, transforma a vivência adquirida pelos alunos em conhecimento matemático sistematizado. A sistematização das situações matemáticas exploradas nos jogos pode ocorrer, por exemplo, por meio de pequenas questões propos­tas aos alunos após o jogo. Ou, ainda, pode-se solicitar ao aluno que faça uma representação gráfica da situação do jogo.Verifique se o autor, por meio das atividades, proporciona situações em que o aluno: • planeje ações e projete soluções para problemas novos, que exigem iniciativa e criatividade; • compreenda e transmita ideias matemáticas, por escrito ou oralmente, desenvolvendo sua capacidade de argumentação; • interprete matematicamente situações do dia a dia ou a relação com outras ciências; • avalie e estime se resultados obtidos na solução de situações-problema são ou não razoáveis, fazendo estimativas mentais de resultados ou cálculos aproximados; • utilize o pensamento aritmético, incluindo a aplicação de téc­nicas básicas, esquemas de combinação e contagem e regularidade das operações; • aplique os conceitos fundamentais de medidas em situações concretas;• reconheça regularidades e propriedades das figuras geométri­cas planas e sólidas, relacionando-as com os objetos de uso comum, desenvolvendo progressivamente o pensamento geométrico;• represente e interprete dados em gráficos não cartesianos.Os gráficos cartesianos são aqueles em que utilizamos dois eixos, comumente nomeados eixo x e eixo y. Esses gráficos são muito usados para representar depen­dência entre grandezas. Os gráficos não cartesianos correspondem a todos os outros tipos: pictóricos, setores circulares e outros.Conhecendoos critérios definidos peloPNLDO PNLD analisa e avalia as coleções produzidas pelas editoras antes de comprá-las, para assim garantir a qualidade dos materiais. Para isso são estabelecidos critérios que se relacionam com as seguintes observações:• ausência de erros de impressão e de revisão;• ausência de preconceitos e erros de conteúdo;• qualidade e atualidade da proposta pedagógica;• qualidade do manual do professor;• contribuição para a construção da cidadania.Após essa avaliação, é publicado o Guia de Livros Didáticos, distribuído às escolas para servir como instrumento auxiliar na escolha do livro pelo professor.O Guia de Livros Didáticos é um guia, em forma de revista, distribuído para todas as escolas e Secretarias de Educação do país. Ele contém os resultados das ava­liações dos livros didáticos. O processo de escolha do livro nas escolas envolve todos os professores de 1o a 5º ano do Ensino Fundamental. Por isso, esse guia foi elaborado para o professor, pois ele é a pessoa mais adequada para dizer qual material de apoio didático fará a diferença no processo de ensino-aprendizagem. Esse guia é a síntese de um criterioso processo de avaliação e assegura a qualidade da escolha das obras que o professor e os alunos irão usar. Depois de a escola selecionar as obras, elas são enviadas e só serão substituídas novamente quatro anos depois. Portanto, para que essa decisão reflita um consenso de toda a equipe escolar, o governo incentiva a realização de amplos debates a partir das informações contidas no Guia de Livros Didáticos.É muito importante que o professor, junto com sua equipe, leia o Guia de Livros Didáticos – PNLD/2004, pois nele constam as justificativas do grupo de avaliadores. Somente assim poderá haver interação do conteúdo e da qualidade de cada uma das obras e dos critérios da avaliação do MEC.Conhecendomelhoros critérios...Vamos apresentar a seguir um resumo desses critérios para que você possa ter mais informações e tirar os seus próprios critérios para avaliar um livro didático.Critérios eliminatóriosUm dos principais critérios utilizados pelos avaliadores para excluir um livro é a presença de erros conceituais, de indução ao erro e de confusão conceitual, em que conceitos distintos são relacionados de maneira errada ou confusa. Por exemplo, a confusão entre os con­ceitos de número e de numeral e a identificação do conjunto com sua cardinalidade.Segundo os avaliadores, o livro didático deve ter adequação e coerência metodológicas e o desenvolvimento metodológico deve con­templar estratégias que mobilizem e desenvolvam várias competências cognitivas básicas, como observação, compreensão, argumentação, organização, análise, síntese, comunicação de ideias matemáticas, pla­nejamento, memorização etc. No caso de o livro didático recorrer a mais de um modelo metodológico ou a uma metodologia desarticulada dos objetivos, ou ainda privilegiar uma única dessas competências, deve ser indicada claramente sua exclusão.Em relação à contribuição para a construção da cidadania, o livro didático não pode veicular, nos textos e nas ilustrações, preconceitos que levem a discriminações de qualquer tipo, nem ser um instrumento de propaganda e doutrinação religiosa, pois dessa forma desrespeita o caráter leigo do ensino público.Critérios classificatóriosEm relação ao aspecto visual, o texto e as ilustrações devem estar dispostos de forma organizada, com ritmo e continuidade, dentro de uma unidade visual. O livro não deve apresentar erros graves de redação e é desejável que textos mais longos sejam apresentados de forma a não desencorajar a leitura, lançando-se mão de recursos de descanso visual. Um dos objetivos das ilustrações é despertar no aluno uma ação investigativa, que estimule questionamentos, raciocínios e conjecturas. É importante a utilização de diferentes códigos, como o verbal, o oral, o gráfico, o de forma, pois dessa maneira ele apresenta uma maior diver­sidade de situações didáticas.Os avaliadores consideram fundamental que o livro didático venha acompanhado de orientações ao professor que explicitem os pressupostos teóricos, os quais, por sua vez, deverão ser coerentes com a apresentação dos conteúdos e com as atividades propostas no livro do aluno. É necessário que mostre como o professor pode articular os con­teúdos do livro entre si e com outras áreas do conhecimento, trazendo bibliografia e sugestões de leituras que contribuam para a formação e a atualização do professor.Segundo eles, o texto não deve subestimar nem superestimar o aluno. Por exemplo, ele subestima quando desconsidera a riqueza e a variedade de experiências e interesses que ele traz para a escola e também quando apresenta situações, problemas e atividades que não exercitam sua imaginação e criatividade; por outro lado, o aluno é superestimado quando o texto o supõe capaz de um raciocínio abstrato plenamente desenvolvido, e apresenta a Matemática de um ponto de vista formal, sem exploração de seus significados; ou quando o texto usa uma linguagem acima da compreensão infantil.Como aplicar esses critérios?Para facilitar a avaliação do livro didático, é interessante que o professor elabore uma ficha em que se possa avaliar os diversos aspec­tos apontados.