sábado, 18 de setembro de 2010

RESUMO DE MATEMÁTICA II APS - AULAS 1 A 30.

RESUMO ELABORADO A PARTIR DOS TEXTOS DE ANA LÚCIA VAZ DA SILVA, ANDRÉIA CARVALHO MACIEL BARBOSA, ROSANA DE OLIVEIRA, MARIA TEREZA SERRANO BARBOSA E SAMUEL JURKIEWICZ.

Resumo de Matemática 2 – Aulas 1,2,3,4,5,6,7 e 8


Aula 1 - Números indo além da sua história...



O USO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA EM SALA DE AULA

Existem diferentes formas de uso da História da Matemática em sala de aula. Segundo Fossa (2001), esse uso pode ser ornamental ou ponderativo.

O uso ornamental está presente há muito tempo no ensino, e é bastante comum nos livros didáticos. É apresentado como notas históricas, no início ou fim dos capítulos que contam o desenvolvimento da Matemática, ou a biografia de algum matemático importante.

Não é um recurso para formação de conceitos matemáticos.

Já o uso ponderativo não é tão comum no ensino. Ele utiliza a História da Matemática na formação dos conceitos matemáticos. Propõe que esses conceitos sejam apresentados dentro de uma abordagem histórica, promovendo discussões sobre os mesmos. Dentro do uso ponderativo, destacam-se o uso novelesco e o uso episódico, que desencadeiam o uso manipulativo.

No uso novelesco, o aluno é levado a seguir a trilha da História da Matemática durante todo o desenvolvimento do conteúdo, o que pode ser cansativo.

O uso episódico é menos intenso, propondo que a história seja utilizada de forma ponderada durante alguns tópicos.

O manipulativo surge possibilitando a História da Matemática como matéria-prima para atividades de sala de aula. É nesse sentido que os PCN apontam a história como um caminho para fazer matemática em sala de aula. Essa manipulação pode ser fruto de um uso tanto episódico quanto novelesco, mas prevê a utilização de atividades estruturadas e materiais manipulativos, permitindo ao aluno agir e redescobrir.



RESGATE DE ALGUMAS CARACTERÍSTICAS DOS SISTEMAS

DE NUMERAÇÃO

Sistemas de numeração indo-arábicos, alguns são caracterizados por agrupamentos simples. Adotam-se símbolos para 1, b, b2, b3, ... A partir daí qualquer número se expressa pelo uso desses símbolos aditivamente. A base b usada é a base 10.

Os babilônios antigos (2000 a.C. a 200 a.C.) expressavam os números menores do que 60 usando também agrupamentos simples de base 10.

O sistema de numeração romano é representado por letras do alfabeto. É um sistema aditivo. Os valores são somados sempre que aparecem letras iguais juntas ou o maior número à esquerda do menor.

O sistema de numeração indo-arábico é um sistema decimal caracterizado inicialmente pelos nove algarismos publicados por Al-Khowarizmi. Esses símbolos sofreram muitas modificações, pois eram escritos a mão. O zero aparece no século VI, formando assim o conjunto de dez algarismos que conhecemos atualmente. A partir de 1440, com a invenção da imprensa, a forma desses símbolos é fixada.



OS EGÍPCIOS E SUA FORMA DE MULTIPLICAR

O Papiro RHIND ou AHMES (1650 a.C.) é um antigo manual de Matemática. Contém 85 problemas, a maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia. Esse papiro é uma fonte primária rica sobre a Matemática egípcia antiga, descreve os métodos de multiplicação e divisão dos egípcios. O sistema de numeração egípcio baseava-se em números-chave. A ordem em que são escritos esses símbolos não altera o número escrito.

A escrita egípcia dificultava a multiplicação, pois para escrever um número eles usavam muitas vezes uma grande quantidade de símbolos. Achavam que multiplicar por 2 era o menos complicado. Para nós, que vivemos o sistema indo-arábico, a multiplicação por 2 não é complicada, mas a multiplicação por 10 é mais simples de fazer.

Para efetuar a multiplicação entre dois números naturais, os egípcios primeiro precisavam escrever um dos fatores como a soma de potências de 2.



A MULTIPLICAÇÃO DO CIÚME

Os árabes inventaram esse processo no século XIII aproximadamente, e foi conhecido como multiplicação pelo quadro, chamado no Ocidente como per gelosia, que significa multiplicação pelo ciúme.

Um exemplo: Para multiplicar 432 por 354, construímos um quadro retangular de três linhas e três colunas. Na parte superior do quadro, colocamos o multiplicando 432 da esquerda para a direita, e na lateral direita do quadro dispomos o multiplicador 354 de baixo para cima.

Em seguida, traçamos a diagonal de cada casa e colocamos o produto de cada número da parte superior por cada número colocado na parte direita do quadro.O resultado deve ser escrito da direita para a esquerda.





Esse processo é mais sofisticado que o algoritmo de multiplicação, pois os agrupamentos são feitos em uma única etapa, mas muito semelhante. As contas efetuadas são as mesmas, feitas e escritas de maneira diferente. No algoritmo de multiplicação que estudamos, esses grupamentos são feitos em duas etapas: nas parcelas da multiplicação e depois na adição dessas parcelas.



Aula 2 - Um pouco de história da Matemática: conhecendo a origem dos números racionais



FRAÇÕES COM DIFERENTES DENOMINADORES

Nos séculos XI e XII, através dos árabes, o sistema de numeração posicional de base decimal com zero, originário da Índia, difundiu-se no Ocidente. Desde essa época, a Aritmética foi pouco a pouco se desenvolvendo sob a pressão das necessidades práticas do comércio, das finanças e da Astronomia.

Entre os fatos mais importantes da Matemática, naquela época, está a introdução dos números decimais, isto é, a conversão das frações ordinárias em frações decimais.

Exemplo:



Os babilônios empregaram sistemas decimais e frações sexagesimais, os mais usados nas tabelas para calcular peso e volumes. É provável que o uso do número 60 pelos babilônios se deve ao fato de que é o número menor que 100 com maior quantidade de divisores inteiros.

Esse sistema passou a sentir falta de um símbolo para o zero que representasse as potências ausentes de 60, levando assim a possíveis confusões na expressão de um número dado. Introduziu-se então, por volta do ano 300 a.C., um símbolo, formado por duas cunhas, pequenas e inclinadas. Mas esse símbolo só era utilizado para indicar uma potência de 60 dentro de um número, nunca no final.

Por volta da segunda metade do terceiro milênio a.C., os babilônios e os sumérios já utilizavam uma notação racional, como hoje fazemos com as frações de horas, minutos e segundos. Dessa forma, 1 hora e meia é representada, em escrita racional, 1+ e na escrita cuneiforme .



OS RACIONAIS E SEU USO

Os números racionais são todos aqueles que podem ser escritos sob a forma de fração com numerador e denominador inteiros e, além disso, o denominador diferente de zero.

Os nomes das frações dependem do número de partes em que a unidade é dividida e do número de partes que estamos considerando.



DESCOBRINDO A FRAÇÃO. ATÉ A SUA ESCRITA DECIMAL!

A criação dos números naturais simpliicou muito o trabalho com os números fracionários. A atual maneira de representação, ...,utilizando a barra, data do século XVI. Os números decimais têm origem nas frações decimais (de denominador 10, 100, 1000, ...).

Por exemplo, a fração .

Si m o n St e v i n, em 1585, escrevia suas expressões decimais fazendo um círculo acima de cada dígito e escrevia a potência do denominador 10 dentro do círculo. Exemplo:



Este número representa, hoje, o número decimal 3,1416.

A representação dos algarismos decimais provenientes de frações decimais recebia um traço no numerador indicando o número de zeros existentes no denominador.



John Näpier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal.

Por muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos, em virtude da precisão proporcionada. Os números decimais simpliicaram os cálculos e passaram a ser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.



A MANEIRA EGÍPCIA DE LIDAR COM FRAÇÕES

Os egípcios faziam as divisões privilegiando seu cálculo através de frações. Essa aritmética de frações era baseada nas frações unitárias, ou seja, com 1 no numerador, na escrita atual, são as frações generalizando, são as frações da forma onde n é um número natural (1, 2, 3, 4, ...). Uma fração era indicada graicamente com o número do denominador sobre o qual se colocava um símbolo matemático especíico: um ponto ou uma espécie de olho estilizado.

No Papiro de Rhind, entre outros problemas, aparece uma tabela de decomposição de frações do tipo onde p é um número ímpar, em frações unitárias.

PROBLEMAS E CURIOSIDADES ANTIGAS SOBRE AS FRAÇÕES

O primeiro problema é para descobrir aha. A palavra egípcia aha signiica quantidade. Eles atribuíam um valor qualquer para aha, por exemplo, o número 7, e faziam os cálculos com esse número, encontrando, no caso do 7, o número 8, pois

Para encontrarem o valor de aha, usavam proporcionalidade.

Esse método icou conhecido como a regra da falsa posição.

O estabelecimento do ano de 365 dias pertence também aos egípcios. Com o passar do tempo,

entretanto, percebeu-se que as estações aconteciam em datas diferentes de ano para ano.Isso signiicava que o tempo para a Terra completar uma volta em torno do Sol não era de 365 dias, e a defasagem estava se acumulando.Foi criado então o ano bissexto, para tentar organizar as estações que estavam se deslocando no tempo.



O CIÚME COM VÍRGULAS

Quando construímos o quadro retangular de três linhas e três colunas e colocamos os números, marcamos a linha e a coluna onde estão posicionadas as vírgulas.



A vírgula estará localizada na diagonal que passa pelo ponto de encontro da linha e coluna marcadas. A conta pode ser feita de maneira abreviada desta forma.

E o resultado é escrito da esquerda para a direita e depois de baixo para cima: 15, 2928.



Aula 3 - Mas... O que é o número racional?



O CONCEITO...

um número racional é aquele que pode ser escrito na forma em que a e b são números inteiros, e b ≠ 0 .



QUANDO AS FRAÇÕES REPRESENTAM PARTE DE UM TODO...

Denominador fica na parte inferior do traço de fração. A quantidade de partes consideradas fica representada no numerador, ou seja, na parte superior do traço de fração.

Denominador é “aquele que dá nome” à fração; quando o dividimos em cinco partes iguais chamamos essas partes de quintos.

O que seria, do conjunto de 10 laranjas? Precisamos dividi-lo em 5 partes iguais e tomar cada uma das partes.

de 10 laranjas é igual a 2 laranjas.

de 10 laranjas é igual a 4 laranjas.

de 10 laranjas é igual a 6 laranjas.

de 10 laranjas é igual a 8 laranjas.

de 10 laranjas é igual a 10 laranjas.

Existe uma diferença entre trabalhar com um todo contínuo. Quando mudamos o tamanho do inteiro, modiicamos o tamanho das partes consi deradas. Por outro lado, se o inteiro é um conjunto de objetos, temos um todo discreto, em que cada parte considerada é uma quantidade de objetos que também varia de acordo com a quantidade total de objetos que representa o todo.

Lemos uma fração indicando primeiro o numerador e depois o denominador.

A leitura do numerador é indicada pelo número que aparece nele, mas para o denominador temos leituras diferentes.

Quando os denominadores são acima de 10, lemos o número que está escrito no denominador, acrescentando a palavra avos ao lado.

Porém, existe uma notação especial quando os denominadores são múltiplos de 10.





AS FRAÇÕES DECIMAIS

Há algumas frações que consideramos bastante especiais: são aquelas em que o denominador é dez, cem, mil, ou qualquer múltiplo de dez. Estamos considerando essas frações especiais por duas razões: uma delas é porque nossa base é decimal; a outra, porque as frações decimais estão diretamente relacionadas com as unidades padrão de medida, seus múltiplos e submúltiplos.

Considerar o cubão como sendo nossa unidade. Se dividirmos o cubão em dez partes

iguais, teremos 1 placa representando (Um décimo do cubão)da unidade considerada.

Se dividirmos 1 placa em 10 partes iguais, temos 1 barra, que representa da barra, (Um centésimo do cubão)da placa e (Um milésimo do cubão)do cubão.

Fizemos uma leitura diferente do material dourado. Quando trabalhamos com as operações no sistema decimal, o cubinho foi considerado como unidade.





QUANDO AS FRAÇÕES SÃO NÚMEROS RACIONAIS...

O traço de fração indica uma divisão. As frações representam números racionais e podemos classiicá-las.Existem algumas que representam números racionais menores que 1,

outras que representam números maiores que 1 e outras que representam o próprio 1.

Essas frações recebem nomes especiais; na tabela abaixo relacionamos essa nomenclatura com suas características.





AS METADES... SÃO QUASE NATURAIS

As metades também são bastante usuais. Podem ser utilizadas em diferentes contextos.

Tomemos as frações com denominador igual a dois, ou tomemos os meios, ou ainda as metades dos números.



Quando encontramos a metade de números pares, os resultados são números inteiros e racionais; quando encontramos a metade de números ímpares, os resultados são números racionais e não inteiros.



AS FRAÇÕES ENVOLVENDO A IDÉIA DE COMPARAÇÃO

A idéia que envolve a representação de fração é bastante interessante.

Numa festa estiveram presentes 10 rapazes e 20 moças. Vamos comparar o número de rapazes e moças. Para isso, temos duas formas de fazê-lo:

Existem 10 rapazes para 20 moças ou 10 rapazes está para 20 moças ou a essa forma

de representação chamamos razão entre o número de rapazes e moças. Se simpliicarmos teremos e dizemos então que para cada rapaz existem 2 moças.



AS FRAÇÕES DE DENOMINADOR CEM SÃO... POR CENTO

OU PORCENTAGEM

Uma representação de número racional bastante utilizada é a porcentagem.

Encontrar a porcentagem de um valor é encontrar quantos por cento, ou seja, é encontrar qual a parte correspondente num todo que está dividido em 100 partes. A porcentagem é uma forma de representação das frações de denominadores 100.

Aula 4 - Como representar e comparar os números racionais na reta numérica?



OS NÚMEROS RACIONAIS E A RETA NUMÉRICA

Numa reta numerada a distância é denominada escala. Reta é denominada reta numérica, e é nela que fazemos a representação geométrica dos números racionais.

Apesar de podermos construir uma reta numérica apenas para os números inteiros, ela é adequada para representar muitos outros números, visto que uma reta é um conjunto infinitos de pontos. A essência da continuidade em um segmento de reta (a noção de que todos os pontos da reta podem representar algum número) se deve à possibilidade da sua divisão em duas partes.

Esses espaços entre dois números inteiros podem ser preenchidos com outros conjuntos numéricos.

Se você dividir esse espaço entre zero e um na metade, você poderá representar o número responsável por essa divisão de várias maneiras diferentes, mas neste momento vamos pensar apenas em duas: a forma decimal 0,5 ou a forma fracionária .

Ainda podemos preencher com números decimais o espaço entre 0 e 0,5 e o espaço entre 0,5 e 1.

Frações equivalentes ->São aquelas que representam a mesma quantidade e são obtidas se multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador por um mesmo número.

Uma outra característica importante dos números racionais, que pode ser veriicada através da sua representação na reta numérica, é a não existência do número sucessor. Por exemplo,

encontrar o número racional mais próximo de 2 e pensássemos no 2,1, veriicaríamos que entre o 2 e o 2,1 existe o 2,01 e que entre o 2 e o 2,01 existe o 2,001, e assim por diante.

Três conceitos fundamentais relacionados à representação dos números racionais:

• A reta numérica possui ininitos pontos e, utilizando esta reta, representamos geometricamente os números racionais.

• Entre dois números racionais existem ininitos outros números racionais e por isso não faz sentido falar de sucessor de um número racional.

• Podemos representar os números racionais na reta usando a forma fracionária ou a forma decimal; além disso, cada número fracionário pode ser representado de ininitas maneiras.



ORDENANDO E REPRESENTANDO OS NÚMEROS

FRACIONÁRIOS NA RETA NUMÉRICA

Ao observar a reta numérica, notamos que a ordem a que os números racionais obedecem é crescente e da esquerda para a direita.

Do ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é menor do que um número que está à direita na reta numerada.

Se os conceitos relacionados aos números racionais não estão bem entendidos, sua ordenação pode parecer contraditória.

Ordenar as frações com numerador igual à unidade e utilizarmos a sua posição na reta numérica.

Quando ordenamos os números que não são inteiros, não podemos nos guiar pela grandeza dos algarismos, e sim pelo seu signiicado.

Quando os números racionais possuem o mesmo numerador mas denominadores diferentes, podemos analisar e entender “o tamanho” do número que eles estão representando. Por outro lado, se transformamos em números decimais, podemos visualizar este “tamanho”.

Se eles possuem numeradores e denominadores diferentes, tanto a ordenação quanto a representação na reta numérica podem apresentar maiores dificuldades.

Dois caminhos a seguir:

• Transformar todos os números fracionários em frações equivalentes com o mesmo denominador ou

• Transformar todos os números fracionários em decimais.



E A ORDENAÇÃO E COMPARAÇÃO DOS NÚMEROS

DECIMAIS?

A contradição aparente que acontece na ordenação dos números fracionários, que muitas vezes confunde os que estão começando a aprender o significado dos números, também acontece com a representação decimal dos números racionais.

Para ajudar o entendimento dos números decimais é preciso reforçar duas idéias: a primeira é de que entre dois números decimais quaisquer existe sempre um outro número decimal que se encaixa ali. A segunda idéia é a de que o signiicado da grandeza do número decimal parece ser diferente do signiicado do número natural, mas não é.

Ao compararmos dois números decimais devemos:

1 – Comparar as suas partes inteiras (antes da vírgula). Se os números possuem partes inteiras diferentes, essa comparação é muito fácil: quanto maior a parte inteira maior é o número.

2 – Se os números possuem a parte inteira igual, então a comparação se dá através da sua parte fracionária.

3 – Para facilitar a comparação entre as partes fracionárias, iguale os seus números de algarismos completando com zeros.



Aula 5 - Frações... Uma das representações dos números racionais.Como adicionar e subtrair frações?



QUANDO AS FRAÇÕES TÊM O MESMO DENOMINADOR

Existem adições de frações que envolvem frações de mesmo denominador, isto é, frações de mesmo tipo, com o mesmo nome.



O QUE SÃO FRAÇÕES EQUIVALENTES?

Entender o que são frações equivalentes é o ponto fundamental para a compreensão das operações de adição e subtração com frações de denominadores diferentes e para poder comparar frações.

Considere as frações É importante que essas frações sejam consideradas a partir de um mesmo inteiro.



Observe que nestes inteiros, embora tenham sido divididos em partes diferentes, as partes consideradas são equivalentes.

Uma forma de verificar se duas frações são equivalentes é simpliicá-las. Basta veriicar se o numerador e denominador da fração podem ser divididos por um mesmo número, reduzindo até uma fração irredutível.

Fração irredutível-> É aquela que não pode mais ser simpliicada, ou seja, o numerador e o denominador são números primos entre si.

Caso as frações irredutíveis encontradas sejam iguais elas são equivalentes.

Uma outra forma de veriicar se as frações são equivalentes é tornar os denominadores iguais.

Quando a fração encontrada tem o mesmo denominador e é diferente da outra fração dizemos que as frações não são equivalentes.



QUANDO AS FRAÇÕES TÊM DENOMINADORES

DIFERENTES...

Três casos, que distinguem as relações entre os denominadores.

1º caso – Quando os denominadores são múltiplos uns dos outros.

2º caso – Quando os denominadores não são múltiplos, mas são primos entre si.

3º caso – Quando os denominadores não são múltiplos e não são primos entre si.



USAR OU NÃO O MMC?

Utilizar o menor múltiplo comum ou outro múltiplo não faz diferença para adicionar ou

subtrair frações.

O conjunto de múltiplos de um número é obtido multiplicando o número considerado pelos números naturais.



E HÁ NÚMEROS QUE SÃO PRIMOS...

O dispositivo para encontrar o MMC usa, do lado direito do traço, números que são chamados primos. Esses números são assim chamados porque só possuem dois divisores, ou seja, são divisíveis por 1 e por ele mesmo.

O 1 não é considerado primo, pois possui apenas um divisor. O menor número primo é o 2; também é o único número primo par, pois qualquer outro número par será divisível por 2 além de ser divisível por um e por ele mesmo.

Qualquer número inteiro que não seja primo pode ser decomposto em números primos; ou seja, qualquer número pode ser escrito como produto de números primos.



ALGUMAS VEZES AS FRAÇÕES SÃO IRREDUTÍVEIS!

Frações irredutíveis são aquelas em que não é mais possível simpliicar, em que numerador e denominador sejam primos entre si.

Os números não precisam ser primos isoladamente, mas entre eles o único divisor comum é o número um. Assim, podemos dizer que dois números primos são sempre números primos entre si.

Para encontrar o MMC entre dois números que são primos entre si, basta efetuar a multiplicação entre os dois números considerados.



ESCLARECENDO UMA REPRESENTAÇÃO...

As frações maiores que 1, trata-se daquelas em que o numerador é maior que o denominador. As frações representam números que são maiores que um inteiro. Uma das representações

desses números é denominada número misto. Isto porque tal representação mistura número inteiro com número fracionário.

Um número misto que é formado por um número inteiro e uma fração corresponde à adição desse número inteiro com a fração dada.



Aula 6 - Para além do algoritmo de multiplicação de frações...



O QUE SIGNIFICA DE... DE... DE...?

Dentre os problemas que envolvem fração, alguns trazem em si a idéia multiplicativa, são problemas que pedem uma fração do todo. Estes podem ser resolvidos apenas com o conceito de fração. Exemplo:

Vou fazer uma viagem de 200km. Percorri da viagem. Quantos quilômetros eu percorri? Podemos resolver o problema graicamente.

Queremos obter do percurso total, uma parte do todo (percurso total) que foi dividido em 4 partes. Cada parte indicada equivale então a 50km, pois 200÷ 4=50.

Uma outra maneira de resolver esse problema é utilizando a idéia de proporcionalidade.

Como queremos obter do percurso total da estrada, vamos expressar esse comprimento da estrada usando uma fração de denominador 4. Podemos fazer isso, pois sabemos que



A operação que está envolvida nesse problema é a multiplicação, pois de 200, signiica x 200. Portanto, representando o resultado inal do cálculo, temos a expressão



MULTIPLICANDO UMA FRAÇÃO POR UM

NÚMERO NATURAL

Se tomo 3 copos de refrigerante de uma garrafa, em que cada copo equivale a do refrigerante da garrafa, que fração da garrafa tomei?

Como as frações são iguais, basta somar os numeradores, ou multiplicá-los por 3.

A multiplicação de um número menor que 1 por um número natural pode ter como resultado um número maior que 1.



COMO SERÁ ENTÃO A MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÃO POR

FRAÇÃO?

Calcule e faça a representação gráica da terça parte de de uma folha de papel.

Primeiramente, considere 4 partes de uma folha de papel que foi dividida em sete partes iguais.



Desejamos obter (terça parte) de (parte sombreada). Para isso, dividimos a parte sombreada em 3 e consideramos apenas uma.



Para expressar esse resultado através de uma fração, é interessante que você tenha observado dois fatos:

•afolha que inicialmenteestava dividida em7partes iguais passou a ter 21 (3 x 7) partes iguais, no momento em que dividimos a parte sombreada em três.

•a parte escura,que é o resultado final do todo considerado,possui 4 pedaços dos 21 pedaços.

Portanto, o resultado dessa multiplicação é a fração: . Podemos escrever então que



ALGEBRIZANDO A MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES:

O ALGORITMO

Na segunda coluna está a representação dos dados da primeira coluna em forma de multiplicação de duas frações e mostraremos o algoritmo.



Para multiplicar frações, multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador.



MAS, NA CALCULADORA, QUANDO SE TRATA DE

PORCENTAGEM...

Como calculamos 40% de 80? Pode fazer qualquer uma das operações ou pois a multiplicação é comutativa. Fazendo as contas, encontramos

Na calculadora não podemos digitar ao contrário, a calculadora apresenta o 0 no visor como resultado, pois ela processa 40% de 0 (valor inicial do visor) e depois multiplica por 80, encontrando 0. Assim, para efetuar o cálculo corretamente, o valor percentual deve ser digitado depois do outro valor.



A MULTIPLICAÇÃO PRODUZINDO NÚMEROS MAIORES OU

MENORES QUE O TODO...

Quando estamos multiplicando números naturais, o resultado encontrado é sempre maior do que os fatores.Já com frações nem sempre isso acontece.

Seja n é um número natural. Se 100 é um número maior que 1, então será maior que n. Se é um numero menor que 1, então será menor que n.

Aula 7 - Dividir frações: entendendo o signiicado



QUANTAS METADES CABEM EM UM INTEIRO?

Pensar na divisão de frações por um caso que consideramos mais simples: trabalhar com metades.

• Quantos cabem em ?

Envolve duas frações, dividir por ou seja, efetuar .Fazemos a seguinte pergunta: quantas vezes (um meio) cabe em (dois meios)?

cabe 2 vezes em . Assim, ou ainda, como podemos escrever que:

um inteiro dividido por meio é igual a 2, ou seja,



UM POUCO MAIS SOBRE A DIVISÃO DE UM NÚMERO POR

UMA FRAÇÃO...

Com idéia dos “quantos cabem em...”. Considere por exemplo A pergunta que devemos nos fazer é: quantas vezes cabem em 5? Você já sabe que cabe 3 vezes em 1 inteiro; então, quantos cabem em 5 inteiros?

Cabe 15 vezes no total. cabe 15 vezes em 5 inteiros e, portanto,



Como cabe 3 vezes em 1 inteiro, em 5 inteiros caberá 5 x 3 = 15 vezes.



DIVIDINDO FRAÇÃO POR NÚMERO

Podemos encontrar o resultado de algumas divisões de frações utilizando a idéia de repartir igualmente.

A idéia da divisão tem duas ações “quantos cabem” e “repartir em partes iguais”.



DIVIDINDO FRAÇÃO POR FRAÇÃO...



Para dividir por , ou seja, efetuar , fazemos a seguinte pergunta: quantas vezes a fração cabe na fração ?

Recorremos, à equivalência de fração. e .

A fração equivalente que desejamos obter não é qualquer fração equivalente às frações dadas, mas uma especíica que seja simultaneamente equivalente às frações e . O denominador

das frações equivalentes pode ser “descoberto” através da multiplicação dos denominadores (2 x 3 = 6).

Quando nos perguntamos quantas vezes cabe em desejamos comparar as duas frações, e a equivalência de frações nos permite ver que o todo está dividido em partes iguais. Assim, do todo dividido em 6 partes, a fração indica que foram tomadas 3 partes

e da fração foram tomadas duas partes.



O ALGORITMO...

Temos 1 inteiro e desejamos saber quantas vezes cabe no inteiro.

Dividimos, então, o inteiro em duas partes, ou seja, buscamos escrever as frações e com o mesmo denominador. No caso, o 2 = 2 x 1 (o produto dos denominadores). Reescrevemos a fração como .E agora fazemos uma nova comparação. Quantas vezes 1cabe em 2. Podemos também pensar que foram tomadas 2 partes de 1. A forma de pensar a divisão desse exemplo nos permite entender o algoritmo da divisão de frações.

Observe que na construção das frações equivalentes na tabela, seus respectivos denominadores serão o produto dos denominadores das frações anteriores.



O cálculo feito, antes da simpliicação, em todos os casos foi:



Mas isso é o mesmo que multiplicar a 1ª fração pela 2ª fração invertida.

Assim temos o algoritmo:

Por exemplo:





Aula 8 - Existem números que têm vírgula. Por quê?



AS REGRAS DO SISTEMA DECIMAL E OS NÚMEROS COM

VÍRGULA

A representação decimal é uma decorrência do sistema de numeração decimal. As frações decimais, que possuem denominadores 10, 100, 1000 cujas representações decimais são respectivamente 0,1; 0,01; 0,001derivam do sistema de numeração decimal.

Uma fração com denominador 10 lê-se décimo, ou seja, é 2 décimos e se representa sob a forma decimal como 0,2;

Uma com denominador 100 lê-se centésimo, ou seja, lê-se 5 centésimos e se representa 0,05 e assim por diante.

Toda fração decimal pode ser transformada em um número decimal e vice-versa.

Os números decimais possuem uma parte inteira (antes da vírgula) e uma parte decimal (depois da vírgula).

Assim, o primeiro número depois da vírgula representa o décimo (10 décimos = 1 unidade); o segundo número depois da vírgula representa o centésimo (10 centésimos = 1 décimo); o terceiro número depois da vírgula representa o milésimo (10 milésimos = 1 centésimo).

Quando estiver ensinando o aluno a entender, escrever e ler um número decimal, deve primeiro mostrar como identiicar seu valor posicional.



E A ORDENAÇÃO E COMPARAÇÃO DOS NÚMEROS

DECIMAIS?

Ao compararmos dois números decimais devemos:

1. Comparar as suas partes inteiras (antes da vírgula).

2. Se os números possuem a parte inteira igual, comparar a parte decimal.

3. Para comparar as partes decimais, igualar os números de algarismos, completando com zeros.



COMO SOMAR E SUBTRAIR OS NÚMEROS DECIMAIS?

As regras do sistema decimal continuarão valendo para os números decimais. Pode somar ou subtrair os números decimais a partir de diversos procedimentos (algoritmos).

Algoritmo 1

Como todo número decimal pode ser transformado em uma fração decimal, para somar os números 1,8 + 3,4 + 0,8 transforma-se em frações decimais e adiciona-se as frações:

1) 1,8 = 18/10 + 3,4= 34/10+ 0,8 = 8/10

2) 18/10 + 34/10 + 8/10 = 60/10 = 6,0

Algoritmo 2

Escreva os números um embaixo do outro, respeitando as suas posições, ou seja, na parte inteira, os algarismos das unidades abaixo das unidades, os algarismos das dezenas abaixo das dezenas e assim por diante. A vírgula embaixo da vírgula e, na parte decimal siga o mesmo critério, o algarismo representando o décimo abaixo do décimo, o do centésimo abaixo do centésimo, o do milésimo abaixo do milésimo, completando-se com zero quando necessário. Agora some ou subtraia normalmente.

1,8

3,4

0,8

___

6,0



COMO MULTIPLICAR OS NÚMEROS DECIMAIS?

Para multiplicar números decimais por 10, 100, 1000 ou qualquer outra potência de 10, mantenha os mesmos algarismos e desloque a vírgula para a direita uma, duas, três etc. casas de acordo com a potência de 10.

Para multiplicar um número decimal por um número natural diferente de 10 e de suas potências.

Etapas

1) Você deve multiplicar o número decimal por alguma potência de 10 que o transforme em um número natural.

2) Efetue a multiplicação dos dois números naturais.

3) Divida o produto pela mesma potência de 10 por que você multiplicou o número natural.



E NA DIVISÃO, AS REGRAS SÃO AS MESMAS?

Na divisão de dois números decimais vamos precisar de outra propriedade: quando multiplicamos o dividendo e o divisor por um mesmo número diferente de zero, o quociente da divisão não se altera.

Assim, as etapas para fazer uma divisão são:

1) Multiplicar o dividendo e o divisor por uma mesma potência de 10 (10, 100 ou 1000) de forma que tanto o dividendo quanto o divisor se tornem inteiros.

2) Fazer a divisão dos números inteiros, resultantes da multiplicação anterior. Esse já é o resultado da divisão.



QUANDO E ONDE VAMOS UTILIZAR ESSES NÚMEROS?

Os números racionais e sua representação decimal surgiram a partir da necessidade que os homens sentiram de fazer mensurações e, em conseqüência, representar numericamente as

partes não inteiras das suas medidas.

Eles aparecem quando queremos medir ou comparar alturas de várias crianças, temperaturas em diversos dias, as áreas de duas salas, os volumes de algumas garrafas, os pesos de produtos ou os preços de duas mercadorias.

Quando vamos apresentar os números decimais para uma criança que não tem ainda a vivência de um adulto, é importante motivá-la com situações do seu contexto social.

Resumo de Matemática 2 – Aulas 9, 10, 11, 12, 13, 14 e 15


Aula 9 - Mais números... você sabia que existem alguns que são negativos?



UM POUCO DE HISTÓRIA...

Foi na China que encontramos a primeira referência histórica sobre a utilização dos números negativos.

Diofanto (século III), quando resolvia equações, encontrou uma resposta negativa. Ele a recusou, pois achava absurda a idéia de uma quantidade negativa. Ele considerava somente as raízes positivas das equações, mostrando o seu desconhecimento pelos números negativos. Os matemáticos hindus detinham um cálculo aritmético e algébrico. Isso lhes permitiu conceber um novo tipo de símbolo para representar dívidas. Posteriormente, o Ocidente chamou esse símbolo de negativo.

A primeira vez que as regras aritméticas com números negativos aparecem explicitamente em uma obra foi na do matemático hindu do século VII, Brahmagupta, que data do ano 628 d.C. Ele não só utilizou os negativos em seus cálculos como os considerou e deu a esses números uma aritmética semelhante à dos inteiros positivos.

Nos séculos XVI e XVII, muitos matemáticos europeus não apreciavam os números negativos e se esses números apareciam em seus cálculos, eles eram considerados falsos ou impossíveis.

Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número que pudesse ser a solução de problemas simples, como encontrar um número que, somado com 2, desse 0 como resultado.

As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, por exemplo. Astrônomos e físicos procuravam uma linguagem matemática para expressar a atração entre dois corpos. Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número; era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente.

Nessa época, abriu-se uma nova etapa para os números negativos, pois Stevin (1548-1620) aceitou os números negativos como raízes e coeficientes de equações.

Foi o matemático Albert Girard (1590-1639) o primeiro a reconhecer explicitamente a utilidade algébrica de admitir as raízes negativas como soluções formais das equações, porque permitia uma regra geral de resolução na construção de equações através de suas raízes.

No final do século XVII, surgiu a obra de Viéte, mais tarde ampliada por Descartes em 1637, em que admitiu que as expressões literais pudessem tomar valores negativos.

Hermamn Hankee (1839-1873) garantiu a legitimidade dos números negativos na Matemática, em uma publicação em 1867.

Hoje em dia, os números negativos são muito comuns, pois estão presentes nos jogos, nas medidas de temperatura, nos fusos horários, nos saldos bancários, nas taxas de inflação.



OS NÚMEROS NEGATIVOS NAS SITUAÇÕES DO DIA-A-DIA

Convivemos com os números negativos em várias situações, tanto de contagem (saldo bancário, saldo de gols, total de pontos de um jogo), quanto de natureza física (temperatura, fuso horário).

Uma boa aplicação de números inteiros é o saldo de gols de um campeonato de futebol, pois temos saldo de gols positivo e saldo de gols negativo.



Falando de medidas e fusos horários

Para caracterizar tais estados térmicos, isto é, a medida de temperatura, utilizamos termômetros. Temos números acima e abaixo do zero. Quando a temperatura está acima de zero, dizemos que ela é positiva, e nesse caso falamos simplesmente o número. Já quando fazemos referência a temperaturas abaixo de zero, é necessário ou falar graus Celsius negativos, ou escrever a temperatura precedida do sinal de menos.



Quanto maior a quantidade de graus negativos, mais baixa é a temperatura; conseqüentemente, mais frio está o ar.

Comparando as duas tabelas, observamos que no Rio de Janeiro, do mês de dezembro para o mês de junho, ocorre uma diminuição de 10ºC na temperatura; dizemos que ocorreu uma variação de –10ºC.

Verificando o mesmo na cidade de Montreal, a temperatura passa de – 6ºC para 10ºC, neste caso, houve um aumento de 16ºC na temperatura, que corresponde a uma variação de +16ºC.

O cálculo da variação de temperatura é obtido por meio de uma subtração.

Variação de temperatura = temperatura final – temperatura inicial



Nas contas feitas, apareceram novidades, pois no cálculo 25 – 35 estamos retirando de 25 um número maior que ele. Já na expressão 10 – (– 6), subtraímos de 10 o número negativo – 6.

Para efetuar a subtração 10 – (– 6), fazemos uma adição, pois obtemos o resultado 16, que é o mesmo que efetuar 10 + 6.



O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS E A RETA NUMÉRICA

Mostramos algumas situações em que aparecem os números negativos. Vamos agora formalizar um dos conjuntos ao qual esses números pertencem. Esse conjunto é chamado conjunto dos números inteiros e é obtido fazendo a união do conjunto dos números naturais, com o conjunto dos números inteiros negativos e com o zero.

Esse conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen, que significa número em alemão) e pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}.

O zero assume a posição de origem; à direita do zero localizamos os números naturais, também chamados de inteiros positivos; e à esquerda localizamos os negativos.

Baseando-se na reta numerada, podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor. O sucessor de um número inteiro é o número inteiro que se encontra imediatamente à sua direita na reta, e o antecessor de um número inteiro é o número inteiro que está imediatamente à sua esquerda na reta. Dessa forma, dizemos que o conjunto dos números inteiros é um conjunto ordenado.

A distância entre um número e o zero é chamada módulo de um número inteiro.

O módulo de -6 é 6, pois a distância desse número ao zero é de 6 unidades, e o módulo de 2 é o próprio 2. Podemos indicar
-6
= 6 e
2
= 2. Como estamos falando de distância, podemos concluir que o módulo é sempre positivo.

Outra conclusão que podemos tirar é que o módulo de 0 é 0, pois este dista 0 unidades dele mesmo.

Agora responda: quais são os números que têm módulo 4?



Esses números são chamados opostos ou simétricos. Assim, 4 é o oposto de – 4 e – 4 é o oposto de 4, e escrevemos assim: – 4 = – 4 e – (– 4) = 4. O oposto é representado pelo sinal de menos à esquerda do número.



USANDO O SALDO BANCÁRIO PARA ADICIONAR E SUBTRAIR NÚMEROS INTEIROS

A subtração a - b é a adição do número a com o oposto do número b.



Para fazer a leitura correta dessa tabela, você precisa saber que na coluna de movimentação o sinal de menos à direita do número indica que este vai ser retirado do total anterior, pois indica alguma quantidade que se deve. Quando o sinal de menos está na coluna do saldo, o significado é de dívida; em 15 de maio, o Sr. João devia ao banco R$300,00.

Em relação ao dia 5 de maio, o Sr. João estava devendo ao banco R$1.200,00, mas como fez um depósito de R$800,00 no dia 6, sua dívida diminuiu R$800,00. Com isso, seu saldo parcial passou a ser de R$400,00 negativos. Sua dívida ficou menor.

Usando os símbolos matemáticos, representamos assim: -1200 + 800 = -400.

A representação na reta numérica fica assim:



Observe que, nesse caso, foi preciso fazer a subtração 1.200 – 800 para chegarmos ao 400, pois o saldo devedor diminuiu. As ações feitas são contrárias.

Já no dia 11 de maio seu saldo era devedor de R$360,00, e ainda compensou um cheque de R$340,00; por isso, o saldo total no final do dia era devedor de 360,00 + 340,00, ou, usando números negativos, – 700,00. Sua dívida ficou maior!

Usando uma operação, temos: -360,00 + (-340,00) = -700,00.

Na reta temos:



Agora, foi preciso somar os valores 360,00 e 340,00, pois o saldo devedor aumentou.

Se as ações são contrárias (perde x ganha), devemos fazer a subtração e verificar se o saldo final é positivo ou negativo. Para isso, basta ver o sinal do maior.

Se as ações são iguais (perde x perde), devemos fazer a adição e manter o sinal dos números.



MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Sempre partimos do zero para localizar os números e, quando o número é negativo, estaremos usando o conceito de oposto.

Quando temos um número positivo multiplicado por um número negativo,

por exemplo 2 x (–3):

2 x (-3) significa duas vezes o –3



Encontramos – 6 como resultado do produto.

Quando temos um número positivo multiplicado por um número negativo, por exemplo (– 3) x 2, o significado dessa operação é o oposto de 3x2.

(–3) x 2 significa o oposto de 3x2



Você observou que 2x (–3) deu o mesmo resultado que (-3) x 2. Ao trocarmos a ordem dos fatores, o produto não foi alterado.

Quando dois números negativos são multiplicados, por exemplo (-3) x (-2), o significado dessa operação é o oposto de 3 x (-2).

Representando na reta numerada:



Na divisão de números inteiros, o significado dos sinais é o mesmo da multiplicação e a operação entre os números é feita da mesma maneira que a dos números naturais.

Exemplos:

4 ÷ (-2) = -2

(-9) ÷ 3 = -3

(-20) ÷ (-5) = 4.



Aula 10 - Relaxe... Mas nem tanto... Outros métodos no ensino e aprendizagem dos números racionais



CÍRCULOS COLORIDOS

Descrição do material:

• 6 discos circulares fracionados em metades ,terços ,quartos , sextos , oitavos e um doze - avos .



Cada círculo deve ser pintado com uma cor distinta, segundo o número de partes em que se encontra dividido, para facilitar na distinção de cada parte visualmente, e não apenas por sua medida.

Escolhemos os denominadores: 2, 3, 4, 6, 8 e 12,já que, além de simples, permitem estabelecer muitas relações de equivalência entre essas partes.

Objetivos:

• Introduzir a noção de partição em partes iguais.

• Visualizar a relação entre as partes e o círculo completo que será tomado como unidade.

• Identificar a representação com o nome correspondente (denominador) assim com o símbolo.

• Reconhecer a relação de ordem entre as partes fracionárias.

• Conhecer algumas relações de equivalência.

• Introduzir a idéia de numerador adicionando partes iguais.

• Introduzir a adição e a subtração de partes diferentes em alguns casos possíveis.



BINGOS FRACIONÁRIOS

Descrição do material:

• 24 fichas com as seguintes frações:



• 4 cartões, cada um contendo a representação gráfica de seis das frações anteriores (ver material do bingo em anexo).

A mesma figura – um quadrado – é a unidade em todas as representações e a parte preta corresponde ao valor da fração. A cada fração se associa a representação que permite visualizar seus dois termos: numerador e denominador. Por exemplo:



Objetivo:

• Identificar a representação da fração como unidade.



JOGOS COM CARTAS

Descrição do material:

• 48 cartas com 12 valores diferentes, cada um expresso de quatro maneiras distintas.

– fração irredutível;

– número decimal;

– parte sombreada de uma tira, placa ou cubo;

– divisão correspondente.

Por exemplo:



Objetivos:

• Mecanizar a simplificação das frações.

• Conhecer diferentes formas de representação dos racionais positivos.

Com esse material, poderemos explorar diferentes tipos de jogos.



TANGRAM

O Tangram funciona como um quebra-cabeça que se tornou bastante popular no final do século XVIII e no início do século XX.

Das 7 peças, temos 5 triângulos, 1 quadrado e 1 paralelogramo. Vamos nomeá-las: TG (triângulo grande), TM (triângulo médio), TP (triângulo pequeno), Q (quadrado) e P (paralelogramo).





Aula 11 - A história da Geometria: do Egito até a Grécia



NO EGITO E NA MESOPOTÂMIA

O quarto milênio antes da nossa Era se caracterizou como um período de grande progresso cultural; trouxe o uso da escrita, da roda e dos metais.

Os conceitos e fórmulas que aparecem nos escritos de quase todos os povos antigos demonstram seus conhecimentos da natureza geométrica e sua familiaridade com quadrados, retângulos, triângulos, círculos etc.

As revelações obtidas através das tábuas de argila encontradas durante as escavações arqueológicas mostram que os caldeus, provenientes da Mesopotâmia, empregavam fórmulas da Geometria devido à necessidade de calcular áreas e volumes. Na mesma época, os egípcios também construíram os primeiros templos dentro de projeções uniformes e precisas e adotaram fórmulas geométricas, deixando evidente que já resolviam problemas relacionados à Geometria.

Para a civilização do Egito, que tinha sua sustentação na agricultura às margens do rio Nilo, esses cálculos eram imprescindíveis nas novas repartições de terras após suas inundações periódicas.

As medidas eram o ponto central na Geometria da Mesopotâmia e do Egito, mas ainda não havia uma distinção clara entre medidas exatas e aproximadas.

O problema que foi resolvido a partir do Teorema de Pitágoras já constava num texto babilônio antigo.



A GRÉCIA DE PITÁGORAS E EUCLIDES

Foi com os geômetras gregos, começando com Tales de Mileto (624-547a.C.), que a Geometria se estabeleceu como teoria dedutiva. O trabalho de sistematização em Geometria iniciado por Tales teve continuação nos séculos posteriores, nomeadamente pelos seguidores de Pitágoras.Tales foi um precursor preocupado, sobretudo com problemas práticos:

Para calcular a altura da pirâmide, Tales usou a semelhança de triângulos retângulos imaginários, formados pela projeção das sombras da pirâmide e da sombra de uma estaca de altura conhecida fincada na perpendicular, perto da base do monumento.

Tales foi considerado o primeiro matemático verdadeiro e responsável pela organização dedutiva da Geometria. Mesmo que não exista documento antigo que possa ser apontado como prova desses feitos, a ele são atribuídos os teoremas a seguir:

1. Teorema de Tales: um ângulo inscrito em um semicírculo é um ângulo reto.

2. Um círculo é bissectado por um diâmetro.

3. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais.

4. Os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se cortam são iguais.

5. Se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um são iguais a dois ângulos e um lado de outro, então os triângulos são congruentes.

A Geometria grega foi marcada por duas Escolas: a de Pitágoras e a de Euclides.



GEOMETRIA PITAGÓRICA: ESCOLA DE CROTONE

Pitágoras fundou a célebre Escola de Crotone, responsável por uma nova etapa na pesquisa científica. A maior característica da escola pitagórica era ser considerada o local em que o estudo da Matemática e da Filosofia constituíam a base moral do comportamento. Diz-se inclusive que as palavras Filosofia (amor à sabedoria) e Matemática (o que é aprendido) foram criadas pelo próprio Pitágoras ao descrever suas atividades intelectuais.

Os babilônios associavam várias medidas às coisas que os cercavam, desde os movimentos nos céus até o valor dos seus escravos. Muitas civilizações primitivas partilharam vários aspectos da numerologia, mas os pitagóricos levaram a extremos a adoração aos números, e baseavam neles sua filosofia e modo de viver. O lema da escola pitagórica era: “tudo é número”.

Todos os números tinham seus significados, mas o dez, o mais sagrado, representava o número do universo e a soma de todas as dimensões geométricas. Os pitagóricos, além de fazerem da Aritmética um ramo da Filosofia, transformaram-na numa base para a unificação

de todos os aspectos do mundo que os rodeava.

GEOMETRIA EUCLIDIANA: ESCOLA DE ALEXANDRIA

O entusiasmo de Platão a respeito da Matemática fez com que ele se tornasse conhecido como o “criador de matemáticos”. Sobre as portas da sua escola lia-se: “que ninguém que ignore a Geometria entre aqui”. E foi Euclides da Alexandria (325-285 a.C.), discípulo dos discípulos de Platão, quem fez as primeiras sistematizações dos conhecimentos geométricos no livro Elementos, que originou a Geometria Euclidiana.

Os 13 livros do Elementos tratam de figuras geométricas, de polígonos inscritos e circunscritos em um círculo e suas propriedades, das proporções, da similitude, da Geometria Espacial, assim como da Teoria dos Números.

Inclui-se nessa obra de Euclides a maior parte dos teoremas a respeito da congruência de triângulos, construções com régua e compasso, desigualdades relativas a ângulos e lados de um triângulo, propriedades de retas paralelas e paralelogramos. O livro termina com a demonstração do Teorema de Pitágoras.

Arquimedes (287-212 a.C.), que nasceu logo após a morte de Euclides, completou Elementos com um estudo sobre os círculos, as esferas e os cilindros. A Geometria elementar que conhecemos se completa com o estudo dos cônicos realizados por Apolônio (200 a.C.) e que deu origem a oito livros, denominados As cônicas. Apolônio verificou que certas curvas, chamadas cônicas, resultavam de intersecções de um cone por um plano de vários modos. O corte paralelo à base do cone era o círculo. Oblíquo, fazia a elipse; uma fatia paralela à linha reta formava uma parábola etc.



A Matemática no mundo grego cobriu um intervalo de oito séculos (600 a.C a 200 d.C). A decadência grega coincide com um longo período de tempos obscuros para os matemáticos em geral e para a Geometria em particular. A civilização romana, que sucedeu à civilização grega, estava direcionada para a conquista militar, a administração civil, a aquisição de riquezas e a construção de monumentos gigantescos, em detrimento da ciência e do humanismo. Em 529 d.C, o Imperador romano Justiniano, por sanção a um ensinamento pagão, fechou as Escolas de Atenas.



Aula 12 - Se você anda perdido... Aqui você vai se encontrar!



DIREITA OU ESQUERDA

A maioria dos estudos sobre o assunto sinalizam que é comum a criança nos anos iniciais usar as duas mãos indistintamente. A definição final da lateralidade só acontece dos 6 aos 8 anos, embora antes disso ela já demonstre preferência no uso de uma das mãos.

No passado, mais ou menos até o início do século XX, as crianças canhotas eram vistas como anormais.

As atividades podem ajudar as crianças a definir sua própria LATERALIDADE, pois elas utilizam o próprio corpo como referencial. Portanto, a nomenclatura – direita e esquerda – é um atributo social de que a criança deve gradativamente ir se apropriando.



DIREÇÃO E SENTIDO SÃO A MESMA COISA?

Existe uma diferença entre direção e sentido. Se pensarmos em duas cidades, Rio de Janeiro e Angra dos Reis, e numa reta imaginária que liga as duas cidades, essa reta é a direção. Os sentidos serão do Rio de Janeiro indo para Angra dos Reis (sentido 1)ou de Angra dos Reis indo para o Rio de Janeiro (sentido 2).

Assim, se tivermos dois objetos, sempre teremos uma única direção que liga esses objetos. Mas, se tomarmos um único objeto, ele pode pertencer a diferentes direções.



SUBINDO... DESCENDO...

Essa é mais uma idéia importante que devemos explorar com os alunos. O elevador exemplifica que temos uma única direção, a vertical. Subir e descer são dois sentidos diferentes.

É importante propor atividades que envolvam as crianças vivenciando as ações; por exemplo, podemos pedir que subam e desçam escadas, bancos ou cadeiras. As crianças gostam de muito movimento e apreciarão esse tipo de brincadeira.



INDO EM FRENTE... OU PARA TRÁS

“Andar para trás” pode ser realizado de duas formas: uma delas é quando utilizamos o nosso próprio corpo como referencial. Ir para trás é dar passos “de costas”, “andar em marcha à ré”. Uma outra forma é estabelecer um referencial externo, por exemplo, ir da minha casa para a padaria mais próxima; chegando ao meio do caminho, percebo que esqueci o que teria de comprar. Nesse caso, tenho de voltar a casa. Ir para a frente seria seguir no sentido casa-padaria; e para trás, seria seguir o sentido contrário (padaria-casa). Mais uma vez, apesar de modificarmos a direção, existem dois sentidos: ir para a frente ou ir para trás.

As brincadeiras que exploram essas idéias são aquelas em que são traçados caminhos com diferentes casas, onde as crianças deverão responder a questões ou executar tarefas. E, dependendo da casa em que cair, os comandos são diferentes; por exemplo, caminhe dois passos para a frente, três passos para trás.



A LOCALIZAÇÃO E ORDENAÇÃO DOS NÚMEROS

Ao organizarmos as crianças em fila, estabelecemos uma ordem. Os critérios de ordenação podem ser os mais variados possíveis.

Essas filas podem ser usadas nas brincadeiras, ou a própria fila pode tornar-se uma brincadeira.

Uma outra atividade que muitos professores apresentam aos alunos e também consta em muitos livros didáticos é a denominada “dê os vizinhos”; ou seja, quem são os antecessores e sucessores de um determinado número. Nesse tipo de atividade estamos trabalhando a localização dos números na reta. Vale ressaltar que a reta numérica é ordenada. Quando a representamos na horizontal, usamos o mesmo critério da leitura e da escrita, da esquerda para a direita (→).



VOCÊ ESTÁ POR DENTRO OU ESTÁ POR FORA?

As noções de estar dentro (no interior), estar fora (no exterior) ou estar na linha (na fronteira) estão ligadas à área da Matemática denominada TOPOLOGIA. Na escola, o professor pode utilizar os diferentes espaços, como sala de aula, banheiro, cozinha, etc. para questionar as crianças sobre quem está dentro ou fora dos espaços.



QUE CAMINHO SEGUIR?

Decidir por que caminho seguir. Alguns percursos são usuais em nosso dia-a-dia. Quanto mais lugares temos para ir, mais numerosas poderão ser as escolhas que podemos fazer. Quando temos apenas dois lugares para percorrer, não temos muitas opções. Mas quando temos cinco lugares diferentes para ir (casa, banco, farmácia, comprar o presente, trabalho), as opções são muitas. É preciso decidir qual é mais curto ou gasta menos tempo.



LINHAS, COLUNAS... TABELAS

As tabelas são um importante instrumento no trabalho com localização; são formadas por linhas e colunas, mas podem se apresentar de diferentes maneiras.

Se eu estiver dentro da sala de aula e quiser indicar onde um aluno deve sentar-se, por exemplo, posso simplesmente apontar. Mas se estou fora da sala de aula e quero informar ao aluno exatamente o lugar onde deve sentar-se, devo lhe dar algumas informações, no mínimo duas. Assim, posso dizer para o aluno: ao entrar, sente-se na cadeira que fica na quinta coluna (considere como primeira coluna aquela de frente para a porta) e na terceira fi leira (considere como primeira fileira aquela que fica mais próxima à mesa do professor).

Outras atividades que envolvem ações dos alunos ou que podem estar no papel devem explorar o uso de tabelas, pois elas são uma importante ferramenta no trabalho de localização no plano.



Aula 13 - Olhe de fora... usando mapas, maquetes e plantas baixas



O QUE SÃO MAPA, MAQUETE E PLANTA BAIXA?!

Mapa é a representação, em superfície plana e em escala menor, de um terreno, país ou território. Todo mapa é redução de algo maior, daí surge a necessidade de escalas de redução, que veremos mais adiante.

Os mapas modernos são elaborados com o auxílio de instrumentos e recursos muito avançados, tais como fotografias aéreas, satélites artificiais e computadores.

Maquete é uma miniatura de algum projeto arquitetônico, de design ou de engenharia. As maquetes podem ser de objetos, de moradias, de cidades, de museus, entre outros; são produzidas na terceira dimensão, é o que chamamos 3D.

Planta baixa é um tipo de mapa que representa espaços bem menores que os utilizados em um mapa. Uma planta baixa pode conter todas as informações dessa pequena área, em que todos os detalhes podem ser desenhados em escala.

A planta baixa é onde se especificam as informações possíveis de um projeto, com o objetivo de colocar os detalhes úteis para a futura construção, ou para estudar uma melhor distribuição dos objetos que ocupam esse espaço, visando à sua decoração. Por isso, é importante que seja indicada na planta todo tipo de medida que mostre distâncias de largura e comprimento do ambiente.

É necessário ainda, dentro da planta, especificar o nome, a área e o nível de cada ambiente.



MAS, AFINAL, O QUE É ESCALA?

A escala nos informa quantas vezes o objeto real foi reduzido para ser posto no papel e, enfim, tornar-se um mapa.

Escala é a RAZÃO entre a distância no papel e a distância correspondente, no real.

Segundo Bairral (1997), para que os alunos entendam o que é escala, e as noções de semelhança e proporção, é necessário que tenham atingido um certo grau de cognição. Eles precisam ter desenvolvido a estrutura multiplicativa de pensamento; essa forma de raciocínio, apesar do nome, não é dominada quando a criança aprende a multiplicar. Por isso, a construção dos conceitos deve ser bem trabalhada, pois na hora de aplicar o conceito a criança deverá saber que está fazendo.

Medindo com a régua, o segmento referente à distância do Rio de Janeiro até Brasília, encontramos aproximadamente 3,1cm. Utilizando a escala indicada no mapa, 1:30.000.000, concluímos que a distância real da cidade do Rio de Janeiro à capital Brasília é de 3,1x30.000.000 = 93.000.000cm. Vamos converter para quilômetros.



Logo, a distância entre Rio e Brasília é de aproximadamente 930km.

A escala numérica é representada por uma razão ou fração. No caso do exemplo, a razão foi 1:30.000.000. Essa escala estabelece a relação entre a distância ou comprimento no mapa e a distância correspondente no real. Nesse caso, cada centímetro de distância no mapa corresponde a 30.000.000 centímetros no real. A escala numérica pode ser apresentada de duas formas diferentes: 1:30.000.000 ou .

De uma escala podemos passar para a outra, basta trabalhar com razões iguais, ou seja, frações equivalentes, cujo numerador seja 1.



ESCALA E TAMANHO DO MAPA...

A riqueza de detalhes do mapa é diretamente proporcional à escala, ou seja, quanto maior for a escala, maior a riqueza de detalhes.

Determinar a escala de forma mais rápida: basta usar a distância entre dois pontos no papel e a mesma no real, e determinar a razão entre esses números. Temos, então, que .



AMPLIANDO E REDUZINDO...

Três HEXÁGONOS REGULARES:



Quando se faz a redução do hexágono I para o II, a razão entre os lados do II (nova figura) e do (figura original) se manteve constante e essa razão é ou 3:4 (3 para 4), ou ainda 75%. Fazendo o mesmo com o hexágono I para o hexágono III, obtém-se uma redução na razão (1 para 2), ou ainda 50%.



Fazendo uma ampliação



Quando ampliamos o hexágono I para o II, a razão entre os lados do II (nova figura) e do I (figura original) se manteve constante e essa razão é ou 3:2 ou ainda 150% (3 para 2). Fazendo o mesmo com o hexágono I para o hexágono III, obtemos uma redução na razão de (2 para 1), ou ainda 100%.



COMO TRABALHAR PLANTAS BAIXAS?

Uma primeira etapa é conhecer vários tipos de plantas baixas, das mais simples às mais elaboradas.

Verifique de que forma você fica sabendo das dimensões reais que a figura representa, se é por meio de uma escala ou se as medidas estão explicitadas.

A partir daí, é só desenhar plantas.



Primeiro, de espaços menores, por exemplo, a sala da nossa casa. Supondo que essa sala seja retangular, e que suas dimensões sejam 6m de largura por 4m de comprimento e que usaremos a escala 1:100, a planta dessa sala fi caria da seguinte forma:

Planta da Sala – o retângulo deve ter dimensões 6cm por 4cm.Se a escala utilizada é 1:100, temos que cada centímetro representa 100cm no real; como as dimensões da sala medem 6m = 600cm e 4m = 400cm, basta dividirmos cada dimensão por 100cm para descobrir as dimensões que serão utilizadas na planta baixa.

Logo, a sala deverá ter, no papel, 6cm e 4cm.

É interessante iniciar o trabalho com a escala 1:100, pois ela é mais simples de efetuar os cálculos.Em seguida, pode-se modificar a escala para ampliar ou reduzir a planta.

Veja o mesmo exemplo, com a escala 1:50.

As novas dimensões ficariam ,isto é, com uma escala maior, o desenho da planta se ampliará.



Agora, com a escala 1:50, temos que as dimensões passam a ser e a nova planta fica assim:







UM POUCO MAIS SOBRE AS MAQUETES

As maquetes são as ferramentas mais utilizadas em trabalhos interdisciplinares, pois envolvem conceitos de várias disciplinas, como por exemplo Geografia, Matemática, Desenho e Artes.

Esse trabalho proporciona aos alunos atividades em que possam recortar, dobrar, medir, comparar, classificar, desenhar à mão livre ou com instrumentos (régua, compasso, esquadros), construir objetos semelhantes aos originais.

O uso e a compreensão dos objetos geométricos nas construções e leituras de maquetes e plantas baixas partem de situações práticas de observação para uma fase intermediária de atividades de construção e levam o aluno a gradativamente fazer relações e chegar às suas próprias conclusões de conceitos importantes de Geometria.

O trabalho com maquetes proporciona a classificação de figuras tridimensionais e bidimensionais, a identificação de números de lados dos polígonos, eixos de simetria de um polígono, paralelas e perpendiculares, medidas de ângulos e de lados. Nesse sentido, quanto melhor a sua formação, mais bem aproveitada será essa atividade.



Aula 14 - Reconhecendo as formas geométricas no mundo em que vivemos



A Geometria da natureza

A natureza criou desde as formas mais simples até as mais complicadas.

O cristal, a Geologia os distribui em sete grandes grupos, chamados sistemas cristalinos (cúbico, romboédrico, hexagonal, tetragonal, ortorrômbico, monoclínico e triclínico).

Além da simetria existente no homem e na maioria dos animais, existem outros exemplos marcantes pela perfeição geométrica criada pela natureza: as cinco pontas de uma estrela-do-mar, que unidas formam um pentágono áureo, os hexágonos do favo de mel das abelhas e a forma espiral de um caramujo.

O pintor renascentista LEONARDO DA VINCI elaborou uma forma de tornar o homem “perfeito” encaixando-o em formas consideradas perfeitas. Ele traçou, a partir do homem, o círculo, o quadrado e o pentágono perfeitos, que obedecem às relações áureas.



A Geometria e o homem

O homem reproduz e cria outras formas que muitas vezes são combinações das existentes na natureza.

A Geometria sempre esteve presente nas construções e nas artes feitas pelo homem, desde a construção das pirâmides do Egito até suas obras arquitetônicas atuais.

Todos os povos, desde a Antiguidade até os dias de hoje, tentam entender, medir e reproduzir os objetos da Natureza. Essa busca abrange várias áreas de conhecimento: das ciências até a arte. Ao estarmos atentos para isso, podemos fazer com que as crianças aproveitem melhor um passeio ao zoológico, uma visita a um museu ou a um prédio histórico. Podemos relacionar o estudo da Geometria com a Geografia, a Ciência, a História ou a Educação Artística.



Exercitando o raciocínio espacial

Quando deixamos o mundo concreto onde os objetos e seres possuem três dimensões (altura, largura e comprimento) e queremos reproduzir suas formas em uma folha de papel, podemos ter dificuldades se não exercitarmos nosso raciocínio espacial. Um mesmo objeto pode ter várias representações no plano, ou melhor, no papel.

Há mais de cem anos, Edwin Abbott escreveu uma aventura matemática passada num país plano cujos habitantes eram as figuras geométricas regulares.

Aqui, vamos aproveitar a idéia desse livro e tentar recompor como seriam as casas e os habitantes desse país plano cujos habitantes fossem, por exemplo, o cone, Figura 14.6.a, a pirâmide, Figura 14.6.b, o cubo, Figura 14.6.c e o cilindro, Figura 14.6.d.



Como os habitantes da casa seriam desenhados no plano, se a casa, que é tridimensional, é representada apenas por sua planta, de acordo com a Figura 14.7? Observe a planta e veja se você consegue perceber quem está na sala, no quarto 1 e no quarto 2.





Aula 15 - Analisando estruturas: trabalhando plano e espaço conjuntamente



TRABALHANDO COM AS FORMAS DO DIA-A-DIA...

Desde as séries iniciais, o professor pode explorar as formas geométricas espaciais com os alunos. Uma das maneiras de fazer isso é através das sucatas.

Algumas formas como as caixas de sabão em pó e de leite e a lata de refrigerante. Outras são: caixa de pasta de dente, copos descartáveis, garrafas de refrigerante e suas tampas, rolos de papel higiênico e espumas de travesseiro, dentre outros.

O professor pode trabalhar com seus alunos, por exemplo, a construção de um espaço da escola, ou uma rua do bairro, onde ele irá adaptar os modelos de sucata para recriar o espaço.



MONTANDO E REPRESENTANDO O CUBO...

Quando você olha um objeto de frente, o que você vê é chamado vista frontal. No caso do cubo, a vista frontal é um quadrado.

O cubo, tanto a vista lateral esquerda como a direita são quadrados. Nessa situação, dizemos apenas que a vista lateral do cubo é um quadrado.

A vista superior, no cubo, você vê um quadrado.

Todas as vistas do cubo são quadrados congruentes (iguais). O cubo é uma forma espacial

e o papel é uma forma plana.

Para fazer a representação de uma forma espacial no papel, temos que nos preocupar em

“passar a idéia” de que o objeto tem três dimensões.

Se representarmos o objeto por vista frontal ou lateral, veremos uma figura plana e não conseguiremos imaginar como essa figura é realmente. Assim, é necessário que façamos uma representação em PERSPECTIVA.

O trabalho de Geometria ao longo do Ensino Fundamental ainda é pouco feito, ou feito de maneira equivocada. A representação dos sólidos, em perspectiva, não é uma idéia construída sem o contato ou a manipulação. As crianças costumam representar o cubo, por exemplo, pela vista frontal, representando o quadrado, ou com dois traços saindo do quadrado.

Uma das representações que pode ser feita com crianças, para desenvolver a visualização, é a representação em perspectiva paralela ou cotada. Ela é feita em uma malha quadriculada.



MONTANDO E REPRESENTANDO OUTRAS FORMAS...

Você pode colocar o paralelepípedo de várias maneiras diferentes sobre a mesa. Em qualquer posição que você coloque, a figura plana que fica sobre a mesa é a mesma da vista superior. Essa figura que apóia o paralelepípedo é chamada base.

A base de um paralelepípedo é sempre um RETÂNGULO.

O cubo e o paralelepípedo são chamados PRISMAS. Como a forma plana da base é um quadrilátero, são denominados prismas quadrangulares.

O que dá nome ao prisma é a forma plana da base. O mesmo ocorre nas pirâmides.



SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Várias formas tridimensionais utilizadas no dia-a-dia são aproximações de SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.

O modelo matemático desses sólidos não é oco, mas totalmente cheio por dentro, como por exemplo, uma vela, ou uma caixa cheia de areia.

Muitas formas do cotidiano são ocas; nesse caso, o contorno dessa forma é chamado superfície do sólido.

A caixa de sabão em pó:Trata-se de um paralelepípedo. Se apoiarmos essa caixa sobre a mesa, em qualquer posição, ela não vai rolar; isto é, seja qual for a parte que esteja tocando a mesa, a caixa ficará totalmente em contato com a superfície.

O mesmo acontecerá com uma pirâmide.

Essas partes dos sólidos que ficam inteiramente apoiadas sobre uma superfície são chamadas partes planas.

Os sólidos geométricos que são formados somente por partes planas recebem o nome de poliedros; as partes planas são chamadas polígonos ou faces do poliedro.

Os sólidos geométricos podem ser classificados em sólidos que rolam e sólidos que não rolam.

Vamos destacar três sólidos que rolam para identificar suas diferenças.



• O cone tem uma superfície que rola (não-plana) e uma que não rola, (plana), chamada base.

• O cilindro também tem uma superfície que rola, porém possui duas bases, ou duas partes planas.

• A esfera não possui nenhuma face plana, toda a sua superfície rola. Ela possui uma propriedade muito interessante. A distância de todos os pontos da sua superfície (“casquinha”) ao centro é sempre a mesma.



UM POUCO MAIS SOBRE OS POLIEDROS: VÉRTICES, FACES

E ARESTAS

Os poliedros possuem “dobras” que são encontros de duas faces. Essas “dobras” são chamadas arestas.

Essas arestas se encontram formando “pontas”, ou “bicos”, que são chamados vértices.


Resumo de Matemática 2 – Aulas 16,17,18,19,20,21 e 22
Aula 16 - Um pouco de arte e Geometria em sua vida
PIRÂMIDES E FARAÓS...
A forma escolhida, um poliedro. As pirâmides do Egito tinham a base quadrada e eram retas, isto é, o vértice superior estava à mesma distância dos vértices da base.
A forma é de uma pirâmide, mas elas foram construídas pela sobreposição de paralelepípedos quadrados.
Este processo se repetia até a construção final da pirâmide. Muitos aspectos da construção das pirâmides ainda permanecem misteriosos para nós, mas uma coisa é certa: muitos cálculos foram realizados para que possamos apreciar a regularidade das pirâmides.
Uma pirâmide pode possuir outros polígonos como base além do quadrado. Assim, para construí-la podemos tomar uma base poligonal qualquer, como por exemplo: o pentágono ou o hexágono.
Tomamos um ponto exterior ao plano em que está o polígono e ligamos esse ponto (vértice) aos vértices do polígono da base; os segmentos de retas construídos e os lados do polígono da base formam o conjunto de arestas da pirâmide.
MOSAICOS E LADRILHAGENS – UM EXEMPLO MENOS FARAÔNICO
As figuras mostram alguns motivos geométricos: o primeiro é um antigo desenho árabe (um arabesco); o segundo, a calçada da praia de Copacabana, conhecida no mundo inteiro. Podemos começar com exemplos mais simples, de maneira que permita a nossos alunos, de forma bastante atraente, a experiência com algumas características dos polígonos.

PARA SABER UM POUCO MAIS
Esses conhecimentos técnicos não devem fazer parte da aprendizagem de crianças nas séries iniciais. Mas é importante que elas vivenciem um grande número de possibilidade desses encaixes.
Os ângulos em volta de um ponto devem somar sempre 360º para que o encaixe seja perfeito.
Os ângulos internos do quadrado medem 90º; logo, podemos encaixar quatro quadrados, pois 4x90º = 360º.
Os ângulos internos do triângulo eqüilátero medem 60º; logo, podemos encaixar seis desses triângulos, ou seja, 6x60º = 360º.
Se os triângulos forem retângulos, do tipo “meio-quadrado”, os ângulos menores medem 45º, e podemos encaixar 360º ÷45º = 8 desses triângulos, ou seja, 8x45º = 360º.

FAIXAS E DESENHOS REPETIDOS
Num segundo momento, esses encaixes podem ser utilizados para produzir faixas e desenhos repetidos, criando um efeito decorativo.
Um exemplo conhecido é o das “gregas”, faixas repetidas que até hoje são encontradas em decoração:
Podemos perceber que essa repetição é um recurso que torna o desenho atraente.

SIMETRIA
Intuitivamente procuramos sempre uma forma equilibrada. Uma das formas mais simples de equilíbrio é a simetria, isto é, imagens iguais espelhadas em relação a uma linha ou a um ponto.
A Natureza também está repleta de imagens onde a simetria se faz presente. Por isso este é um importante conceito geométrico que podemos explorar em diferentes atividades.

Aula 17 - Vamos medir! O quê? Quase tudo...
MAS O QUE É MEDIR?
Na ação de contar quantas vezes um determinado tamanho cabe em outro, o que estamos fazendo é medir uma grandeza utilizando outra de mesmo tipo. Dessa forma, medir é comparar quantas vezes uma grandeza cabe em outra grandeza de mesma espécie, a partir de um padrão que se escolhe. Esse padrão escolhido é chamado “unidade” de medida.
Medir é comparar duas grandezas de mesma espécie.

ESCOLHENDO PADRÕES PARA MEDIR
Desde a Antigüidade, os povos foram criando suas unidades de medida. Cada país, cada região criava o seu próprio sistema de medidas, baseado em unidades arbitrárias, como aquelas que se baseiam no corpo humano: palmo, pé, polegada, BRAÇA, CÔVADO.
Isso criava muitos problemas para o comércio, porque as pessoas de uma região não estavam familiarizadas com o sistema de medida das outras regiões e, conforme o desenvolvimento do comércio, ficou mais difícil trocar e negociar devido a tantas medidas diferentes.
Em 1789, numa tentativa de resolver o problema, o Governo Republicano Francês pediu à Academia de Ciências da França que criasse um sistema de medidas baseado numa “constante natural”, isto é, uma unidade constante  tomada como padrão por todos. Assim, foi criado o sistema métrico decimal. Posteriormente, muitos outros países passaram a usar esse sistema, inclusive o Brasil, aderindo à Convenção do Metro. O sistema métrico decimal adotou, inicialmente, três unidades básicas de medida: o metro, o litro e o quilograma.
Em 1960, o sistema métrico decimal foi substituído pelo sistema internacional de unidades, mais complexo e sofisticado, adotado também pelo Brasil, em 1962. Este sistema tornou-se de uso obrigatório em todo o território nacional.
Sempre que desejamos obter medidas precisas, necessitamos, antes de qualquer coisa, escolher referenciais ou padrões adequados e precisos, e esses padrões estão indicados no sistema internacional de medidas. Os padrões de medida não podem mudar de pessoa para pessoa ou de um dia para o outro. Por esse motivo, os padrões aceitos são bem definidos e têm validade internacional.
A idéia é que esses padrões de medidas sejam de uso mundial, mas ainda há muitos exemplos de grandezas que são medidas com padrões diferentes em diferentes países, e às vezes em diferentes regiões de um mesmo país.

MEDINDO O TEMPO
As medidas do tempo são as mais freqüentes em nossa vida. O relógio é peça essencial no nosso cotidiano, principalmente na vida da cidade.
Medir o tempo é essencial em muitas Ciências, especialmente em Biologia, que estuda a vida, e a Física, que estuda os fenômenos.
Para medirmos intervalos de tempo podemos usar o relógio, o calendário, o CRONÔMETRO, a AMPULHETA.
O cronômetro é utilizado para controle de intervalos de tempo menores, tais como linhas de montagem de peças, tempo de empacotamento de produtos, competições de natação, corrida dos 100 metros rasos, rodeios.

MEDINDO COMPRIMENTOS, ÁREAS E VOLUMES
O comprimento
Utilizamos a grandeza comprimento, quando medimos a extensão de um corredor, a distância entre duas cidades, a nossa altura, dentre outros.
As unidades de medida de comprimento formam um sistema decimal, pois o centímetro é a centésima parte do metro, que, por sua vez, é a milésima parte do quilômetro.
Dependendo do que se queira medir, escolhemos a unidade mais apropriada. Por exemplo, para fazer desenhos no caderno, utilizamos a régua, que está graduada em centímetros, mas para medir a distância do Rio de Janeiro a São Paulo, aí usamos o quilômetro.

A área
Quando medimos área, estamos procurando saber o espaço que uma superfície plana ocupa.
Para medirmos superfícies planas, precisamos de uma grandeza de mesma espécie, ou seja, de outra superfície plana que seja o nosso padrão. Um material muito importante para alunos e professores no estudo das áreas é o papel quadriculado, pois facilita o entendimento inicial desse conceito.
Essas medições podem se tornar bastante complicadas, e podemos cometer erros de aproximação.
Considere o pedaço de papel quadriculado a seguir. Vamos medi-lo utilizando, para isso, o quadradinho do quadriculado, um quadrado equivalente a 4 quadradinhos e um retângulo equivalente a seis quadradinhos.
Caso  1) Medida padrão: quadradinho
Esse quadriculado possui 13 colunas com 14 quadradinhos na horizontal; logo, possui um total de 13x14 = 182 quadradinhos. Portanto, o quadriculado mede 182 quadradinhos.

Caso  2) Medida padrão: quadrado
Como cada quadrado possui quatro quadradinhos, e para cobrir o quadriculado precisamos de 182 quadradinhos, temos que 182 ÷4 = 45,5, ou seja, o quadriculado mede 45 quadrados mais meio quadrado.

Caso  3) Medida padrão: retângulo
Agora, temos que cada retângulo possui seis quadradinhos, daí fazemos a operação 182 ÷6, que dá 30, com resto 2. Isso significa que precisamos de 30 retângulos mais 2 quadradinhos, que correspondem a do retângulo. Podemos escrever que o quadriculado mede retângulos.
Observe que o caso mais simples de fazer a medição do quadriculado se deu com o próprio quadradinho do quadriculado.

O volume ou a capacidade
Quando medimos a capacidade de uma piscina, de uma caixa d’água ou de um tanque de gasolina, estamos medindo volumes.
Considere a seguinte situação:
Mauro encheu completamente duas jarras com água para fazer refresco de limão. Para enchê-los, usou um copo. Para encher o jarro branco usou cinco copos e meio, e para o jarro azul usou sete copos. Esse problema apresenta um típico caso de medida de volume ou de capacidade, pois estamos medindo o espaço ocupado por um “objeto tridimensional”, que no caso são os dois jarros. Para isso usamos o copo, que também ocupa uma região no espaço e tem o seu próprio volume.
Podemos dizer que:
• a capacidade da jarra branca corresponde à capacidade de 5,5 copos;
• a capacidade da jarra azul corresponde à capacidade de 7 copos.
As grandezas trabalhadas neste caso são: o volume das jarras e o volume do copo. A unidade tomada como padrão foi o espaço ocupado pelo copo.
Uma unidade muito usual de volume é o litro (L), que não é a unidade padrão de volume, mas que é aceita sem restrição de prazo.
Agora, observe o sólido geométrico (pilha A) a seguir. Vamos medir seu volume e, para isso, utilizaremos um paralelepípedo.
Para isso, precisamos comparar essas duas grandezas, o sólido e o paralelepípedo, isto é, contar quantos paralelepípedos (que é a unidade que estamos utilizando para medir) cabem dentro do sólido. Observe que o sólido é formado por oito pilhas e em cada pilha temos seis paralelepípedos. Portanto, no sólido cabem 8 x 6 = 48 paralelepípedos.
Podemos dizer, então, que o volume desse sólido é igual 48 paralelepípedos.

MEDINDO A MASSA...
Já na Idade da Pedra, o homem aprendeu que havia uniformidade de pesos entre sementes e grãos. Entre essas medidas, havia, por exemplo, a “mão cheia”, os potes e os cestos. À medida que as sociedades primitivas foram se desenvolvendo, aumentou a necessidade de criar um sistema comum de pesos e medidas.
Se quisermos precisão nas medições das massas, aí, neste caso, utilizamos as balanças. Elas estão entre os instrumentos de medidas de massa mais conhecidos.
A massa é, portanto, um outro exemplo de grandeza, pois pode ser medida. Os submúltiplos mais comuns do quilograma são o grama (g) e o miligrama (mg), onde:
1 kg = 1.000g
1g = 1.000mg
O múltiplo mais usual do quilograma é a tonelada (t), sendo 1t = 1.000kg.
Esse sistema é de base decimal e é hoje aceito em quase todo o mundo.

MEDINDO O DINHEIRO
Podemos dizer então que o valor do salário é uma grandeza, pois pode ser medida através de uma unidade monetária, que no caso do Brasil é o real.
No Brasil, além das notas de 1, 2, 5, 10, 20, 50 e 100 reais, temos também as moedas de 1, 5, 10, 25 e 50 centavos e a moeda de 1 real. Falando em moedas, que tal pensarmos em trocas? Quantas moedas de 10 centavos são necessárias para trocar por uma nota de 1 real? E por uma nota de 20 reais e por uma de 50 reais? Em todos esses casos, estamos comparando as notas com a moeda de 10 centavos. Nesse caso, a unidade de medida é a moeda.

MEDINDO ÂNGULOS
Os ângulos estão muito presentes ao nosso redor, mas não nos damos muito conta disso. Veja os ângulos que fazem os ponteiros do relógio.
Quando estamos recortando com uma tesoura, precisamos abri-la e fechá-la continuamente, aumentando e diminuindo a abertura. Com esse movimento estamos variando o ângulo entre as lâminas da tesoura.
O instrumento utilizado para medir ângulos é o transferidor. Existem dois tipos de transferidores, o de meia volta e o de volta completa.
Lembra-se de quando falamos dos babilônios e do seu sistema sexagesimal, o sistema de base 60? Com base nos seus estudos de movimento da Terra em torno do Sol, os babilônios dividiram o círculo em 360 partes iguais. Cada uma dessas partes recebeu, mais tarde, o nome de 1 grau (1°). Com isso, o ângulo de uma volta completa mede 360°.
Uma das maneiras de nomear um ângulo é utilizando três letras maiúsculas. Veja como nomeamos cada região angular abaixo.
Região I – ângulo AOB ou BOA
Região II – ângulo AOD ou DOA
Região III – ângulo DOB ou BOD

Aula 18 - Área x perímetro: de que lado você está?

PERÍMETRO
O perímetro tem dois significados em Matemática. Significa o contorno de uma região limitada e a medida do contorno dessa região.
Por exemplo, como podemos calcular o perímetro de uma figura curva, como o da figura a seguir?
Faça primeiro uma estimativa. Quanto você acha que mede? 5cm, 10cm, 15cm, 20cm, 25cm, 30cm?
Uma forma de medir o perímetro dessa figura, de forma aproximada, é pegar um barbante e colocar sobre o contorno da figura. Faça isso! Você encontrará uma medida próxima a 22cm.
Vamos ver com uma figura mais simples.
Quando olhamos um quadrado, por exemplo, o perímetro é o contorno da figura.
Como o quadrado tem lado 4cm, e em um quadrado todos os lados são congruentes (têm medidas iguais), dizemos que o perímetro do quadrado é 16cm.
Grande parte dos professores que atuam em sala de aula define perímetro como “soma das medidas dos lados”. A partir desta definição, qual seria o perímetro de uma circunferência ou de uma curva qualquer? Perímetro é a medida do contorno de determinada figura, ou a medida do contorno de um lago, de um pote, de uma sala ou de um terreno. É necessário trabalhar com os alunos diferentes estratégias para encontrar o perímetro de figuras diversas.
A definição usada por muitos professores se refere ao perímetro de um polígono (uma linha fechada formada por segmentos de retas) e se restringe ao cálculo (soma) de valores (OLIVEIRA, 2002).

ÁREA
O conceito de área está intimamente relacionado à origem da Geometria pela própria etimologia da palavra, que significa “medida da terra”. Pela necessidade de dividir terras, era preciso medi-las.
Para isso, é necessário cobrir uma região usando uma figura que tomamos como padrão.
Podemos cobrir uma região usando mais de um tipo de figura. Veja o retângulo a seguir.
Ele foi coberto usando quadrados, hexágonos e dodecágonos (polígonos de 12 lados).
Assim, para medir exatamente uma região, temos de usar figuras que cubram completamente uma região do plano. Usar quadrados, retângulos e alguns triângulos especiais parece inicialmente mais apropriado, pois são figuras planas mais simples.

UNIDADE DE ÁREA
A seta possui área igual a 34, quando a unidade de medida é o triângulo (Figura I) e a área mede 17, pois nesse caso a unidade de medida é o quadrado (Figura II).
Quando temos uma unidade dada, medimos a área com essa unidade, mas quando nada é dito, convenciona-se que a unidade deve ser um quadrado de lado 1.
Veja a tabela a seguir, que apresenta a área de um quadrado com a respectiva unidade de medida.
No exemplo da seta, se considerarmos que o quadradinho tem lado 1cm, a área da seta mede 17cm2.
Vamos praticar um pouco. Considere o quadradinho e o quadrado, conforme mostra a figura a seguir. Sendo o quadradinho de lado 1cm a unidade de área, a área do quadrado mede 16cm2, pois ela é formada por 16 quadradinhos.
Agora, como medir a área do TRAPÉZIO a seguir, se ele não é formado somente por quadradinhos?
Podemos decompô-lo, por exemplo, em duas figuras, tais como o retângulo e o triângulo, que estão destacados. Observe que o triângulo ocupa a metade da área do retângulo, e que o retângulo possui área 8; logo, o trapézio possui área igual à soma das áreas do retângulo e do triângulo. Dessa forma, a área do trapézio é: 8 + 4 = 12cm2.
As importantes estratégias utilizadas no cálculo desta área foram decomposição, composição e comparação de figuras, pois após a decomposição, e apesar de o triângulo não ser formado por quadradinhos completos, foi possível comparar sua área com a área do retângulo.

O estudo do cálculo das áreas foi uma constante entre as antigas civilizações. Fundava-se basicamente na decomposição de figuras, seguida de uma composição em outras figuras de áreas conhecidas. Os gregos, por exemplo, utilizavam-se da decomposição e composição e transformavam qualquer polígono em um triângulo. Com esse triângulo, formavam um retângulo e, finalmente, com este último, um quadrado, do qual determinavam a área. Daí surgiu a expressão “quadrar” para referir-se ao cálculo da área de uma figura.

ÁREA DO QUADRADO
Observe as áreas dos quadrados a seguir formados por quadradinhos de lado 1.
Agora, relacione, utilizando a tabela a seguir, o lado com a área do quadrado.
Essa relação também vale para lados cujas medidas são números racionais não inteiros.
Seja um quadrado cujo lado mede 1,2cm. Temos que 1,2cm = 12mm, isto é, cada lado do quadrado mede 12mm. Um quadrado de 12mm é formado por 12x12 quadradinhos cujo lado mede 1mm.
Portanto, sua área mede (12x12)mm2 = (1,2x1,2)cm2 = 1,44cm2 = 144mm2. Logo, o quadrado de lado 1,2 possui área (1,2)2 = 1,44.

MINÓS OU POLIMINÓS... VOCÊ CONHECE UM PENTAMINÓ?
O minó, se combinado de acordo com a quantidade de quadrados, pode gerar famílias; dessa forma podemos ter as famílias dos minós de dois quadrados, as famílias dos minós com três quadrados, com quatro quadrados e assim por diante.
Com dois quadrados temos a família dominó.
Essa é uma família bem solitária, pois só existe um membro.Com três quadrados, temos a família triminó.
Essa família é formada por duas peças. Repare que a peça do minó não muda quando giramos.

MEDINDO ÁREA E PERÍMETRO DE RETÂNGULOS
Para os exemplos e atividades sobre os retângulos, consideraremos seus lados com medidas inteiras, e para nos referir a determinado retângulo, usaremos suas dimensões. Assim, o retângulo que possui lados medindo 2cm e 5cm, será chamado de retângulo 2x5 (lê-se dois por cinco).Vamos representar todos os retângulos diferentes que tenham área 12.
Os retângulos 1x12, 2x6 e 4x3 são iguais aos anteriores, portanto, não precisam ser representados.
Vamos completar a tabela a seguir, que nos mostra o perímetro de cada um desses retângulos. Lembre-se de que o perímetro é dado pela medida total do contorno da figura.

ÁREA X PERÍMETRO
Vamos ver agora um exemplo em que a área diminuiu e o perímetro continua o mesmo.
Considere a figura a seguir que representa um retângulo 4cm x 6cm.
Sua área mede 24cm2 e seu perímetro mede (2x4)+(2x6) = 8+12 = 20cm.
Recortando quatro quadrados das pontas dessa figura, obtemos um novo polígono:
A área desse polígono é menor 4cm2 que a área da figura anterior e, portanto, mede 20cm2. Agora vamos ver o que aconteceu com o perímetro desse novo polígono. Será que diminuiu também?
Para calcular o perímetro, você precisa medir os segmentos que formam o contorno do polígono. Eles estão destacados a seguir.
Obtemos um perímetro igual a 20cm. O perímetro não modificou!
• há retângulos com mesma área, mas diferentes perímetros;
• há retângulos com o mesmo perímetro, mas diferentes áreas;
• à medida que o perímetro de um retângulo aumenta, a área pode aumentar ou diminuir.

PARALELOGRAMOS, TRIÂNGULOS E TRAPÉZIOS, O QUE ESSAS FIGURAS TÊM A VER COM RETÂNGULOS?
Considere as duas retas paralelas e os segmentos AB, CD, EF, GH, IJ e LM pertencentes a elas, onde AB, GH e IJ medem 2cm, CD e LM medem 4cm e EF mede 5cm.
Agora considere os quadriláteros ABHG, CDJI e EFLM e diga o que eles têm em comum.
Todos possuem um par de lados paralelos. Quando um quadrilátero convexo possui apenas um par de lados paralelos, dizemos que ele é um trapézio.
O quadrilátero ABHG tem dois pares de lados paralelos, que são AB com HG e BH com AG, não é verdade? Nesse caso, esse quadrilátero recebe o nome de paralelogramo. Temos alguns paralelogramos especiais que são os retângulos e os quadrados, mas sobre eles você já tem mais conhecimento.

PARALELOGRAMO
Observe o paralelogramo a seguir, no qual estão indicados os triângulos I e II, a medida da base e a medida da altura.
Agora na Figura 18.16, observe a decomposição (Ação 1) seguida de uma composição (Ação 2).
Dessa forma, o paralelogramo foi transformado num retângulo de mesma base e mesma altura, preservando sua área. Com isso, podemos determinar a área do paralelogramo, através da área de um retângulo que tem mesma base e mesma altura do paralelogramo.

TRAPÉZIO
Considere o trapézio a seguir, com suas bases e sua altura indicadas.
A idéia é transformar o trapézio dado em um paralelogramo. Para isso, vamos pegar outro trapézio igual ao primeiro e colocá-lo de cabeça para baixo, isto é, fazer um giro de 180°.
Agora vamos juntá-los, pois dessa forma teremos um paralelogramo cuja base é a soma da base maior com a base menor e a altura é a mesma do trapézio inicial (Figura 18.17). Veja:
Como a figura obtida tem o dobro da área do trapézio, podemos concluir que a área do trapézio é a metade da área desse paralelogramo.
Como exemplo, vamos utilizar esta fórmula para calcular a área dos trapézios que já vimos anteriormente nesta aula. Para isso, é necessário medir na figura as medidas das bases e a altura. Suponha que o lado do quadradinho meça 1.
Já vimos os paralelogramos e os trapézios, faltam os triângulos. Calculamos a área do trapézio, decompondo-o em retângulo e triângulo. Pois é, como calculamos a área do triângulo?
Basta observar que a área do triângulo é a metade da área do retângulo de mesma base e mesma altura.

Aula 19 - O grande e o pequeno: como medir?

PRIMEIRAS MEDIDAS – PRIMEIROS INSTRUMENTOS
Na escola, o primeiro instrumento de medida de comprimento com que você teve contato foi a régua. Fora da escola, a fi  ta métrica e o metro de pedreiro são bastante usuais.
Ao longo das quatro séries do Ensino Fundamental, os seus alunos ou futuros alunos deverão adquirir os primeiros conhecimentos a respeito das unidades de medida. O centímetro deve ser explorado com crianças muito pequenas, pois a altura da mesa ou da cadeira mede, na maioria das vezes, menos que um metro.
Pegue uma caixa de fósforos comum e meça suas dimensões, ou seja, o comprimento, a largura e a altura.
Você deve encontrar, aproximadamente, as seguintes medidas:
  Comprimento: entre 4cm e 5cm
  Largura:  entre 3cm e 4cm
  Altura: entre 1cm e 2cm
Entre o 12 e o 13 temos vários “riscos”, sendo que o “risco” que fica bem no meio é um pouco maior. Nenhum deles tem marca numérica.
Os "riscos" marcam a medida do milímetro (mm), assim, podemos contar quantos espaços de um milímetro temos em um centímetro. Para saber quantos espaços temos entre o 12 e o 13, fazemos: do 12 até o primeiro risco, temos 1, do primeiro ao segundo risco, temos 2, continuamos contando até o 13cm, onde teremos percorrido 10 espaços, ou seja, 10 milímetros.
Agora que conhecemos os milímetros podemos indicar, de forma mais precisa, a medida da caixa de fósforos:
• Comprimento:   4cm e 8mm – ou 48 milímetros.
• Largura:  3cm e 5mm – ou 3 centímetros e meio – ou 3,5cm – ou ainda 35 milímetros.
• Altura:  1cm e 5mm – ou 1 centímetros e meio – ou 1,5cm – ou ainda 15 milímetros.
Uma mesma medida pode ser expressa de várias formas.

MEDINDO OBJETOS MAIORES DO QUE A RÉGUA
A medida tem propriedades interessantes. Uma delas é que podemos adicionar medidas se elas estiverem em linha reta. Assim, podemos usar a régua para medir objetos maiores que ela.
Essa propriedade da medida é muito importante. Você poderá propor aos alunos que meçam vários objetos usando a régua – cabos de vassoura, a mesa da professora, o comprimento do quadro de giz, etc. Estimule o registro das medidas e a soma dos valores encontrados. Mais uma vez, comparar os diferentes registros fará com que os alunos se preocupem mais com a precisão da medida.
Com a estratégia de usar o barbante, estamos utilizando uma outra característica importante da medida: podemos transportar a medida para outros objetos. Isso quer dizer que a medida da altura do aluno, do barbante esticado no chão ou da marca na porta é a mesma. Realizando uma dessas medidas teremos, automaticamente, o valor das outras. Isso é usado quando queremos cortar pedaços iguais de alguma coisa. Fazemos um molde e o usamos para cortar os outros pedaços.

MEDINDO OBJETOS “DIFERENTES”!
Se queremos forrar uma lata com papel colorido, a medida da altura é simples de obter com a régua, mas para medir a circunferência a régua só não basta.
Podemos adaptar o método do barbante. Passamos um barbante em torno da base da lata, marcamos o local onde ele completa a volta e depois esticamos e medimos.
Melhor ainda: a fi  ta métrica tem 1 metro e meio e agora podemos medir a mesa, a cadeira e até alguns alunos sem precisar somar medidas.
Como medir o tamanho da sala? A sala tem mais de um metro e meio, mas podemos aplicar a idéia anterior – medir a sala até um pedaço e depois medir o que faltar.
Existem instrumentos mais adequados para essa medição. Na verdade, temos dois: a trena e o metro de carpinteiro.
A trena é encontrada em vários comprimentos, mas as mais comuns são as de 3m e as de 5m.
O metro de carpinteiro é um objeto que suscita o interesse dos alunos. Ele tem características particulares: você pode escolher com que comprimento vai trabalhar (até 2 metros). Por sua rigidez, pode usá-lo para medidas internas: poços, buracos, copos, garrafas etc.
Você pode propor aos alunos que meçam uma parte do pátio (o gol do campinho, por exemplo).
É importante que os alunos escrevam e anotem as medidas que tomam. Essa anotação tem duas finalidades:
• Usar para comunicação com outros alunos – para comparação de resultados, por exemplo.
• Para que se habituem com as variadas formas de escrever medidas. As medidas têm larga utilidade na vida cotidiana e profissional, e os alunos devem se sentir confortáveis tanto com a expressão “3 metros e 20” (é comum que não falemos “centímetros”, não é?) como com 3,20m e até com 320 centímetros.
Faz parte do “conhecimento escolar” o uso de múltiplos e submúltiplos do metro. Entretanto, o próprio uso social fez com que alguns deles praticamente não sejam usados. O decímetro (1/10 do metro, isto é, 10 centímetros), o decâmetro (10 metros) e o hectômetro (100 metros) não são usados na vida prática. Não podemos ignorá-los, pois fazem parte da ligação entre o sistema internacional de medidas e o sistema decimal posicional de numeração.

TROCANDO DE UNIDADE DE MEDIDA
É comum encontrarmos medidas em metros, centímetros e quilômetros. E não encontramos medidas com hectômetro e decâmetro. Mas é importante que você, professor, conheça essas transformações, pois elas estão diretamente relacionadas com nosso sistema de numeração. A escala completa é a seguinte:
Assim ,

MEDIDAS MUITO GRANDES
Uma rua tem centena de metros e não podemos pedir a você que meça o quarteirão usando réguas e trenas.
Primeiro usaremos uma bicicleta (ou mesmo um velocípede). Usamos um barbante para medir o comprimento da roda (do mesmo jeito que medimos a circunferência da lata).
Vamos supor que a circunferência da roda mediu 1 metro e 80 centímetros (1m e 80cm), essa medida não é exagerada – talvez até seja modesta. O comprimento de uma circunferência é um pouco maior do que o triplo do diâmetro da roda. Portanto, no nosso exemplo, estamos tomando uma roda com pouco menos que 60cm de diâmetro, ou 30cm de raio.
Colocamos uma marca (um esparadrapo) em um ponto qualquer da roda. Vamos medir o pátio? Começamos com o esparadrapo encostado no chão e começamos a percorrer a distância que queremos medir.
Cada vez que o esparadrapo voltar a tocar o chão, fazemos uma marca no nosso caderno de anotação. No final teremos a medida que queríamos, bastando multiplicar o número de voltas por 1,80m. Se uma volta ficar incompleta, usamos a régua de carpinteiro para completar
a medida.
Esse é o método usado para medir uma estrada, pois não somos obrigados a andar em linha reta!  Melhor ainda, se a estrada tiver subidas e descidas, podemos fazer a medição sem problemas. Com esse método podemos medir além de estradas,  montanhas.
Mas como podemos medir a altura de um prédio de dois andares? Uma idéia é colocar um peso na ponta de um barbante e baixarmos, cuidadosamente, o peso até o chão, o ideal é que tenha alguém para nos avisar que o peso tocou o solo. Cortamos o barbante e, agora, só nos resta medi-lo.
 Essa idéia é importante porque “quando medimos a altura” estamos procurando uma linha perpendicular ao chão;  conseguimos isso porque a força da gravidade, agindo nessa direção, faz com que o fio represente, condignamente, a altura. Não é necessário entrar em detalhes com os alunos dessa idade, mas seria interessante lançar as perguntas: E se o fio ficar inclinado? Por que ele não fica inclinado?
Mas se o prédio tivesse 10 andares seria mais complicado aplicar a nossa estratégia.

MEDIDAS MUITO PEQUENAS
Vamos medir distâncias pequenas. Essas novas estratégias são mais elaboradas, mas vale a pena conhecê-las. Qual a largura de um alfinete? E a largura de um palito de fósforo?
A verdade é que raramente fazemos medições desse tipo. Não é mesmo muito comum o uso de unidades menores que o milímetro. Os instrumentos que usamos (paquímetro, micrômetro) são especializados e reservados para situações profissionais específicas.
Se aumentarmos tanto o objeto quanto o padrão de medida, as relações não se alteram. O que está por trás disso tudo é a idéia de semelhança. É assim que as pessoas medem objetos muito, muito pequenos. Fotografa-se um objeto no microscópio e coloca-se um padrão ao lado.

Aula 20 - Tempo é dinheiro. Será?
Como começou essa história de contar o tempo?
O tempo não é como as outras grandezas que podem ser vistas ou tocadas, mas ele pôde ser sentido pelo homem a partir da observação de como o céu, os ciclos da Natureza e as diversas fases da lua influenciavam suas colheitas.
As primeiras medidas dividiam o tempo em duas partes – dia e noite – associadas ao Sol e à Lua. Isso deu origem aos RELÓGIOS DE SOL, inventados pelos chineses em 2.500 a.C., que cravavam uma estaca no chão, num lugar onde o Sol batia durante todo o dia. Eles observavam como a sombra da estaca se deslocava e faziam marcas no solo.
Em cada ponto da Terra a sombra do Sol tem uma inclinação diferente (tanto em função da latitude (a distância para o equador) quanto da longitude (a distância para o meridiano que determina o nosso fuso horário).

O minuto e o segundo
A certa altura da História, o homem já sabia contar, conhecia um pouco de Matemática, e a divisão do tempo em horas passou a ser insuficiente.
A hora foi então dividida em 60 partes iguais, ficando a unidade de tempo diminuída. Daí vem a palavra minuto (diminuta/minuto). O minuto foi dividido também em 60 partes e cada uma delas deu origem ao segundo.
O tempo aqui está utilizando o sistema de numeração sexagesimal.
Como o tempo, até o segundo, segue o sistema sexagesimal; na hora em que vamos fazer as operações com esse sistema precisamos levar isso em consideração, mas o raciocínio é o mesmo do sistema decimal.
Se queremos somar 1h47min com 2h43min não faz sentido escrevermos 3h e 90min. Temos de lembrar que 90min = 1h30min e, assim, o resultado da soma de 1h47min e 2h43min é 4h30min.
Como este sistema não é decimal, não é possível escrever 4,5 como se fossem quatro horas e meia, que deve ser escrita como 4h30min.

A divisão do segundo
Para a divisão do segundo, voltamos a utilizar o sistema decimal; assim, se dividirmos 1 segundo por 10, 100, 1.000 etc., teremos o décimo do segundo (0,1s), o centésimo do segundo (0,01s) e o milésimo do segundo (0,001s). Você já deve ter ouvido a expressão milionésimo do segundo, que é o segundo dividido por 1 milhão.

As semanas, os meses e o ano
Se o Sol ensinou o homem a medir as horas, a Lua mostrou-lhe como contar as semanas e os meses, a partir da contagem da quantidade de dias que durava cada uma de suas fases (nova, crescente, cheia e minguante). Eram, aproximadamente, sete dias; a cada um desses intervalos, os romanos chamaram de septimana. Daí o nome semana. Como eram sete também as divindades astronômicas conhecidas (Sol, Lua, Marte, Mercúrio, Júpiter, Vênus e Saturno) os romanos resolveram homenageá-las nomeando cada um dos dias.

Os calendários
Os diversos calendários criados ao longo da história possuem estreita relação com o modo de vida de cada sociedade, pois surgiram a partir das diferentes formas encontradas pelos povos para medir o tempo.
Os  ASTECAS  possuíam dois calendários: o solar, com 365 dias, dividido em 18 meses de 20 dias, mais cinco dias adicionais, considerados de azar, e o sagrado, que tinha 260 dias e era utilizado apenas para previsões astrológicas e adivinhações.
O calendário dos MAIAS funcionava com três sistemas de contagem de dias: um período de 365 dias, um outro de 260 dias, e um terceiro, delongo curso.
Os EGÍPCIOS criaram o calendário solar a partir da observação do rio Nilo, que regulava suas colheitas, com 12 meses de 30 dias e 5 dias a mais, adicionados ao final de cada ano.
O calendário lunar também era utilizado pelos ROMANOS antigos até que, por volta de 45 a.C., uma reforma ordenada pelo imperador Júlio César, instituiu o ano de 365,25 dias, deixando assim de ter qualquer referência à Lua, resultando no calendário juliano.
Esse calendário, que se aproximava do ano solar, com o passar do tempo, acumulou um atraso que só foi corrigido muito depois pelo papa Gregório XIII, passando, então, a chamar-se CALENDÁRIO GREGORIANO, utilizado até hoje, em quase todo o mundo.
O CALENDÁRIO JUDAICO tem como marco inicial a saída de Abraão e sua tribo de Ur, na Caldéia, para a terra de Canaã, onde se estabeleceram.
Para o CALENDÁRIO MUÇULMANO, a referência é o ano 622 do calendário cristão, no qual o profeta Maomé saiu da cidade de Meca, na Arábia, e dirigiu-se para Medina, iniciando a ampliação de suas pregações.

O relógio: do natural ao eletrônico
O relógio de sol foi criado para atender a essa finalidade, entretanto, por só medir a hora diurna, foi criado um novo instrumento para medir todas as horas: o relógio de água –clepsidra (do grego Cleps, reter e hidra, água), que media o tempo baseando-se no escoamento da água de um recipiente, gota a gota, para outro. As horas eram identificadas pelo nível da água. No inverno, porém, quando a água congelava, a utilização do relógio de água era limitada, a saída então era recorrer à ampulheta, que funcionava com pó em vez de água.
Também surgiram diversos relógios de fogo.
Em 1595, Galileu Galilei, observando o movimento de oscilação de um lustre na Catedral de Pisa, descobre e aplica a LEI DO PÊNDULO, uma das mais importantes contribuições na medição precisa do tempo.
Posteriormente, surgiram na Europa os primeiros relógios mecânicos, que tinham somente um ponteiro para medir as horas. O ponteiro dos minutos surgiu muitos anos depois.Após a invenção dos relógios mecânicos de precisão, a tecnologia de medida do tempo pouco evoluiu até a criação dos relógios atômicos, que apesar da pouca influência que tiveram na vida das pessoas (seu uso restringiu-se aos laboratórios de Física) trouxeram um grau de precisão nunca antes imaginado. Entretanto, foi o relógio eletrônico que realmente provocou uma revolução no dia-a-dia.
Atualmente, a produção mundial de relógio é em torno de 250 milhões de aparelhos por ano e, com eles, dividimos e ordenamos o tempo para realizar as atividades cotidianas, criando, assim, a idéia de que o tempo não pode ser desperdiçado. Foi dessa idéia que surgiu a famosa frase “tempo é dinheiro”.
Trabalhando o tempo em sala de aula
Nas séries iniciais do Ensino Fundamental, o ideal é abrir uma discussão acerca do intervalo decorrente para a realização de ações e acontecimentos, comparando-os entre si, verificando quais duram mais e quais duram menos: uma pessoa leva mais tempo para ir de casa até o colégio a pé ou de bicicleta? Pode-se até discutir o aspecto afetivo, com uma questão como: “O que é mais longo: o tempo que passamos fazendo uma brincadeira ou o que levamos esperando um amigo?”
Proporcionar um contexto de problematização permite desencadear o desenvolvimento da idéia básica de medida, que é a comparação. Isto é, trabalhar o conceito de medir vai além da simples utilização de instrumentos. Medir significa comparar grandezas; o tempo, apesar de possuir características próprias das grandezas – permite comparação, adição ou subtração – suas medidas referem-se a acontecimentos.
Ao trabalhar o tempo, com os seus alunos, você também estará integrando, outros conteúdos matemáticos, como, por exemplo, os algarismos romanos, indispensáveis não só para a leitura de horas em relógios que usam esse tipo de numeração, como também na contagem dos séculos.
Através da comparação entre o relógio de ponteiros e o digital, os alunos poderão começar a aprender a “ver as horas”. É importante levá-los a compreender a necessidade do conhecimento da tabela de multiplicação do cinco (tabuada) para aplicá-la na leitura do relógio de ponteiros.

O dinheiro também tem história
Os primeiros instrumentos de troca que se popularizaram foram os metais preciosos, tais como a prata e o ouro, que além de muito desejados e difíceis de serem obtidos, eram resistentes e podiam ser divididos. A equivalência entre o valor das mercadorias e a quantidade de metais preciosos era feita pelo peso, assim os comerciantes viajavam com sacos de ouro e prata e balanças. Para simplificar esse processo, surgiram as primeiras moedas.
No entanto, viajar com sacos de moedas era perigoso porque as estradas eram cheias de assaltantes e bandidos. Os comerciantes, então, começaram a deixar suas moedas guardadas com os ourives que entregavam um recibo referente à quantidade de moedas deixadas. Com o tempo, além de guardar o dinheiro, os ourives começaram a emprestá-lo a governantes e outras pessoas em troca de algum benefício ou favor. Foi assim que surgiram os primeiros banqueiros.

A história do nosso dinheiro
Com as expedições, começaram a circular no Brasil as primeiras moedas.
Só a partir de 1630, surgiram as primeiras moedas cunhadas no Brasil, pelos holandeses, que chamavam-nas de florins e soldos. Em 1694, foi criada na Bahia a primeira Casa da Moeda para fabricar novas moedas e recunhar as que já estavam em circulação.

Aula 21 - Você já está cheio? Aqui vai transbordar!
A idéia de volume é bastante importante e merece a sua atenção quando for trabalhar nas primeiras séries do Ensino Fundamental.
Você trabalhará em três dimensões. Um engano comum é achar que os desenhos de um livro conseguem dar uma idéia exata do que é volume.É importante que você experimente várias situações concretas antes que possa representá-las no papel. Por hábito, acabamos por aceitar que o desenho a seguir “é” um cubo. Mas, na verdade, esta é apenas uma representação do cubo no papel.
PARANDO PARA PENSAR: O QUE FIZEMOS ATÉ AGORA?
A capacidade de um recipiente depende de suas dimensões, mas a idéia da extensão de espaço ocupado é complexa. É importante que você presencie a mudança do material de um recipiente para outro, comparando quantidades diferentes e  iguais até que se sinta confortável com a perspectiva de representar as situações em desenhos no papel ou no quadro-negro.
Por meio de experiências simples e acessíveis, você pode introduzir as idéias de volume que serão necessárias quando os alunos forem quantificar com mais precisão.
Idéias que estamos desenvolvendo:
• Podemos comparar volumes, mas temos de controlar a medida dos recipientes (como você fez na Atividade 1).
• Da mesma forma que o comprimento e a área, o volume pode ser determinado a partir de um padrão (uma primeira indicação disso foi quando se verificou que a caixa e a garrafa tinham ambas um litro de capacidade; a partir daí, qualquer uma delas passou a servir como padrão para medir, por exemplo, quantos litros cabem numa bacia).

CONSTRUINDO CAIXAS...
Podemos construir com cartolina materiais que provem que o volume não serve apenas para líquidos.

CONSTRUINDO O CENTÍMETRO CÚBICO
Vamos começar agora a introduzir as unidades de medida de volumes. Vale lembrar que esse estudo se inicia nas primeiras séries do Ensino Fundamental, mas será explorado durante todo o  Ensino Médio e, dependendo da área escolhida pelo aluno, será visto também no Ensino Superior. Por isso, é importante que os conceitos de volume, assim como outros conceitos matemáticos, sejam construídos através de experimentações, determinando dessa forma bases firmes e duradoura no futuro.
Particularmente, no caso do volume, tanto podemos medi-lo em litros como em centímetros cúbicos (ou metros cúbicos etc.). Além disso, é costume apresentar a noção de centímetro cúbico por meio de desenhos; como se trata da representação no papel, isso traz uma dificuldade na compreensão do conceito de volume.
Existe uma diferença entre:
A diferença é sutil; o cubinho é um pedaço de massa ou madeira e 1cm3 é a medida do volume do cubinho.
Desenvolver o conceito de volume apenas com desenhos e explicações é insuficiente. Por isso, é importante explorar a idéia de volume utilizando líquidos e objetos tridimensionais.

CONSTRUINDO UM METRO CÚBICO
O que é um metro cúbico? É o volume de um cubo de um metro de lado. Mas cubos desse tamanho não aparecem a qualquer hora, e se resolvêssemos construir um com massa de modelar, ele fi  caria bem pesado (já imaginaram um cubo, com 1 metro de lado, feito de miolo de pão?).
Um centímetro cúbico é muito, muito, muitíssimo menor que um metro cúbico. Vamos calcular o quanto é menor.
Vamos usar a mesma idéia que usamos antes:

Aula 22 - Lápis e papel na mão... vamos coletar, organizar e descrever informações

ESTATÍSTICA NAS SÉRIES INICIAIS
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais, o ensino da Estatística está inserido no bloco de conteúdos denominado Tratamento da Informação, porque auxilia e dá ferramentas para que o indivíduo compreenda as informações veiculadas pela mídia, tome decisões e se posicione diante delas. O aluno faz parte de uma escola, de uma comunidade, de uma cidade, de um país e por isso é alvo, o tempo todo, de informações a respeito de sua sociedade.
O ensino da Estatística propicia ao aluno, que será um cidadão, a oportunidade de desenvolver a  capacidade de análise e crítica, fazendo leituras de tabelas e gráficos que, freqüentemente, estão em revistas, jornais e televisões para, dessa forma, tomar decisões com consciência e clareza.
As propostas para o primeiro ciclo são: leitura e interpretação de informações contidas em imagens; coleta e organização de informações; criação de registros pessoais para comunicação de informações coletadas; exploração da função do número como código numérico na organização de informações; interpretação e elaboração de listas, tabelas simples, tabelas de dupla entrada e gráficos de barra para comunicar a informação obtida; produção de textos escritos a partir da interpretação de gráficos e tabelas.
Podemos também trabalhar o enfoque sugerido nos PCN empregando questionamentos como:
Você acha o quilo da batata caro? Você come alface? Pergunte a sua mãe quantos pés de alface  ela compra por mês.
É importante que o professor trabalhe, sempre que possível, as relações da sala de aula e do dia-a-dia, para que os instrumentos apresentados na escola possam se refletir no posicionamento crítico do cidadão.
Outra forma possível de trabalho é a construção de gráficos. Por exemplo, o professor espalha figuras de meninas e meninos na mesa. Cada criança da turma pega um bonequinho referente ao seu sexo.
No quadro, o professor terá indicado o lugar para colocar a figura do menino e da menina.
As crianças colocam as figuras nos lugares corretos.
Por meio dessa representação, o professor começa a explorar a representação gráfica e pode elaborar perguntas baseadas na observação dos alunos no gráfico, tais como: em nossa sala há mais meninos ou meninas? Quantas são as meninas? Quantos são os meninos?
No segundo ciclo, a proposta avança em seus objetivos, apresentando coleta, organização e descrição de dados; leitura e interpretação dos dados apresentados de maneira organizada; construção dessas representações; interpretação dos dados apresentados por meio de tabelas e gráficos, já com o objetivo de identificar características previsíveis; produção de textos, a partir da interpretação dos gráficos e das tabelas; construção de gráficos e tabelas com base em textos científicos.
Os PCN indicam que a coleta, a organização e a descrição de dados são procedimentos utilizados com muita freqüência na resolução de problemas e estimulam as crianças a fazer perguntas, estabelecer relações, construir justificativas e desenvolver o espírito de investigação. Sugerem que nos dois primeiros ciclos sejam desenvolvidas atividades relacionadas a assuntos de interesse dos estudantes, e propostas de observação de acontecimentos.
O ensino da Estatística para as Séries Iniciais não serve apenas para ensinar alunos a ler e a interpretar representações gráficas, mas também permite que se inicie o processo de descrever e interpretar sua realidade usando conhecimentos matemáticos.

O QUE INVESTIGAR NAS SÉRIES INICIAIS? QUANTAS PESSOAS SERÃO ENTREVISTADAS?
Uma questão que o professor deve ter em mente antes de disparar uma pesquisa é a relevância do tema para os alunos e para a comunidade em que eles vivem.
Os temas podem partir dos próprios alunos ou dos professores. As sugestões podem ser decididas por meio de votação. São interessantes temas que mobilizem e motivem as crianças, tais como: Quais as brincadeiras preferidas das crianças da 1a série? Quantos alunos comem frutas e verduras? Qual será a profissão de cada um quando crescer?
Curiosidades ou assuntos relacionados à saúde e ao lazer podem servir de pontapé inicial para algum projeto, que terá como objetivo levar os alunos ao desenvolvimento de diversas competências.
Eleito o tema, pesquise informações com os alunos para traçar as metas desse trabalho. Nessa etapa, já se sabe qual é o objeto da pesquisa: pessoas, objetos, animais, fenômenos naturais, entre outros. A partir do momento em que se sabe o que investigar, é necessário determinar a quantidade de elementos que serão analisados.
Para estudar uma determinada situação, acredita-se que quanto maior o número de elementos pesquisados, menor a margem de erro dos resultados e maior a confiança que se pode depositar em tal pesquisa. Porém, é preciso tomar cuidado com a quantidade, pois nem sempre o fato de selecionarmos muitas pessoas resulta em uma boa pesquisa.
Por isso, em muitos casos, limitamos as observações referentes a uma determinada pesquisa a apenas uma parte da POPULAÇÃO. Esse grupo menor é denominado AMOSTRA.
É interessante para você, sempre que for trabalhar com as noções de Estatística, realizar sondagens com populações pequenas e grandes, para que os alunos sintam a necessidade de selecionar uma amostra. Quando se trabalha com a própria turma, levantando dados, tais como idade, altura e número de irmãos, a amostra poderá ser a população toda, isto é, todos os alunos da turma; mas, quando a pesquisa envolve, por exemplo, todos os moradores de um bairro, é necessário a escolha de uma amostra.

COMO COLETAR OS DADOS?
Normalmente a coleta é feita por meio de entrevistas ou questionários, e ela é classificada em direta ou indireta. Na coleta direta, os dados são obtidos diretamente da fonte. Já na indireta, os dados são obtidos por meio de fontes secundárias como jornais, revistas, livros e arquivos.

COMO FAZER AS PERGUNTAS DE FORMA ORGANIZADA E OBJETIVA?
É importante que os alunos sejam orientados a elaborar questões básicas, curtas e objetivas e que tracem um roteiro dos lugares onde irão buscar as informações. O professor também deve esclarecer aos alunos algumas características e condições do local e das pessoas sobre os quais irão coletar os dados.

MÃOS À OBRA! VAMOS PERGUNTAR E REGISTRAR!
Na coleta de dados, devemos estar bem atentos às perguntas que serão feitas e também ao tipo de resposta que queremos. Perguntas em que as respostas são apresentadas e dispostas em forma de opções facilitam a compreensão do entrevistado e, sobretudo, a posterior tabulação dessas informações, pois são dados mais fáceis de se organizar.
Os instrumentos mais utilizados na coleta de dados são os questionários e os formulários. Os primeiros são preenchidos pela própria pessoa que está dando as informações; já no caso dos formulários, as anotações são feitas pelo pesquisador a partir das respostas do entrevistado.
Falando em questionários e formulários, você já ouviu falar do Censo Escolar? Seu principal objetivo é fornecer informações e estatísticas para a realização de diagnósticos e análises sobre a realidade do sistema educacional. Cada escola recebe um questionário dividido em blocos, em que cada bloco se caracteriza por um tipo de informação. Por exemplo, no bloco 1, a escola preenche seus dados cadastrais, e no bloco 2 informa sobre as características físicas da escola.
Depois de passar os questionários, os dados deverão ser contados, agrupados e tabulados. Assim, será possível analisar a questão investigada com base num conjunto mais compacto de informações.
Se você desejar um maior aprofundamento em alguma parte da pesquisa e as perguntas diretas e com alternativas não forem suficientes, você deverá fazer perguntas abertas, sempre tomando cuidado para formulá-las de maneira objetiva e clara.
Na fase da coleta de dados, nota-se uma perda de detalhes das informações provocada pela síntese desses dados. Por isso, é muito importante selecionar uma boa amostra e fazer uma boa seleção de dados.

AÇÃO: COLETANDO DADOS EM PROJETOS...
É importante que você veja a coleta de dados e a Estatística como ferramentas importantes na elaboração de atividades em projetos escolares, proporcionando uma maior integração entre as áreas de conhecimento.
O poder da Estatística na escola está no fato de que se pode trabalhar um mesmo tema sob olhares de várias disciplinas: Português, Geografia, Sociologia, Filosofia, Matemática, pois todas elas podem, a partir de uma coleta de dados, suscitar discussões dentro da sua área  de estudo.
Projetos escolares
1) Caracterização do aluno da escola, visando construir a identidade do aluno.
É um projeto que visa discutir atitudes e valores com a comunidade escolar. Neste projeto podem ser abordados temas como moradia, qualidade de vida (esporte e lazer), cultura, alimentação, educação e família.
É um tema que possui um enfoque social muito abrangente e deve ter a participação de orientadores e pais. Observe que, apesar de o tema ser da área de Ciências Humanas, a coleta de dados para o tratamento da informação por meio da Estatística é imprescindível. Essa é uma forma de mostrar a utilidade da Matemática e o que ela pode fazer pela Educação.

2) Estudo do meio ambiente e sua preservação.
Dentro de uma perspectiva multidisciplinar ou interdisciplinar, o tema pode ser abordado em Português (por meio de textos), em Geografia (falando de vida urbana e rural), em Artes (retratando com as vizinhanças da escola com desenhos, pinturas e maquetes), em Ciências
(pesquisando a qualidade da água, as formas de reciclagem do lixo, a higiene dos alunos e da escola). O papel da Estatística é dar suporte a esses estudos, tratando os dados colhidos.


Resumo de Matemática 2 – Aulas 23,24,25,26,27,28,29 e 30
Aula 23 - Você já tem as informações. Leia, interprete e construa gráficos e tabelas!
COLETA DE DADOS
Todo gráfico começa com uma tabela, mas para ter uma tabela precisamos primeiro coletar dados. Para que nossos alunos compreendam bem o que os gráficos e as tabelas representam é importante ter visto como esses dados se apresentavam antes de ser organizados nesses formatos.
Não podemos apresentar dados tomados sem planejamento; antes de começar a realizar as tabelas e gráficos, devemos ter bem claro que dados queremos mostrar.
Vamos listar nossa turma imaginária:

ESCOLHA E CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO
Agora devemos decidir sob que forma vamos apresentar os dados. Que tipo de gráfico nos faria visualizar as freqüências e as comparações entre  elas? O mais  simples  no  caso  parece  ser  a  utilização  de  um gráfico de barras, visto que as barras são proporcionais ao número de ocorrências. Ele  retrata  as ocorrências “brutas”,  sem  levar  em  conta nenhuma evolução de tempo ou de valor.
Para  a  execução  deste  tipo  de  gráfico  podemos  utilizar  papel quadriculado.
Podemos mostrar  a  freqüência  de  feminino  e masculino  na vertical:
Podemos mesclar os dados de  sexo e aniversário em um único gráfico:
GRÁFICOS DE LINHA – EVOLUÇÃO NO TEMPO
O gráfico de barra mostra somente a quantidade de ocorrências e  permite  sua  comparação. Mas,  às  vezes,  gostaríamos  de  utilizar um gráfico para mostrar visualmente a evolução de um processo, de um acontecimento. Entender esse tipo de gráfico é uma habilidade importante, embora haja  alguma  complexidade, pois  associa uma  imagem  visual
(o gráfico) a uma sucessão de acontecimentos (progressão no tempo).
Uma atividade bastante motivadora e que ao mesmo tempo exige persistência, constância e responsabilidade dos alunos é a medição da temperatura ambiente ao longo de um mês.
Podemos usar um termômetro de parede (o clínico não funcionará) e medir a temperatura interna e externa ao longo do mês, anotando numa folha fixada na parede da sala.
Observe que:
• As medidas variaram de 25º a 35º. Podemos usar um gráfico que marque de 24º a 36º.
• Colocamos  um  espaço  entre  o  dia  7  e  o  dia  10  para manter a coerência entre o tempo decorrido e o espaço no gráfico.
• As legendas são importantes para determinar o que foi medido.
GRÁFICOS DE SETORES (PIZZA) – REPRESENTANDO A PROPORÇÃO
Gráficos de setor, que são chamados familiarmente “gráficos de pizza”. Na  verdade,  eles  são  a  forma  natural  com  que  costumamos introduzir o tema de “frações”.

INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS
A  construção  de  gráficos  é  um  passo  importante, mas  seu aproveitamento    será completo  se  desenvolvermos  a  habilidade  de interpretar o que os diversos tipos de gráficos dizem.

TABELAS SIMPLES E DE DUPLA ENTRADA
Tabelas: Existem diferentes tipos, e, uma das mais simples é a que sai às segundas-feiras nos jornais, na seção de esportes. Ela informa a posição das equipes no campeonato de futebol. Por exemplo:
Mas é comum termos de consultar tabelas mais complexas, que serão muito utilizadas em nossa vida cotidiana e também na construção de outros conceitos matemáticos. São as tabelas de dupla entrada.Por exemplo:
Qual a distância de Salvador a Belo Horizonte? Para consultar essa tabela, usamos uma linha (Salvador) e uma coluna (Belo Horizonte) e  checamos onde  elas  se  cruzavam. É o que  chamamos de  tabela de dupla entrada.

TABELA E TABUADA
Um exemplo de tabela de dupla entrada que podemos construir junto com os alunos é a tabuada.
A tabela  de  dupla  entrada  é  um  instrumento  que  permite  explorar regularidades e propriedades das operações.
No nosso exemplo, podemos construir a tabuada de multiplicação junto com os alunos.
Observe que, no caso da multiplicação, a ordem em que vamos efetuar  as  operações  não  importa,  pois  encontraremos  o mesmo resultado. Podemos fazer linha vezes coluna ou coluna vezes linha. Esse fato se verifica, pois, para a operação de multiplicação, a propriedade comutativa é verdadeira.
Os gráficos de barra são usados principalmente para comparar quantidades. Já os gráficos de linha são mais úteis para visualizar processos. Os gráficos de setor (“pizza”)  são utilizados para  comparar proporções.

Aula 24 - Quando o todo é cem, uma parte é...  porcentagem!
EXPRESSANDO PROPORÇÕES – FRAÇÕES E PORCENTAGENS
As frações são uma forma de expressar proporções e são suficientes para muitos dos cálculos que faremos. Elas apresentam, no entanto, um inconveniente:  cada uma  tem  seu denominador  e nem  sempre  é  fácil compará-los. Por exemplo, qual das duas frações é maior?
Para comparar estas duas frações, temos de igualar os denominadores, ou seja, encontrar frações equivalentes a elas e que tenham o mesmo denominador:
E agora podemos perceber que é maior que .
Uma idéia interessante para padronizar o denominador é a noção de porcentagem.
Para fazer essa padronização, obedeceremos às seguintes regras principais:
i. O denominador será sempre o número 100, portanto o nome de porcentagem (por + cento)
ii. O numerador é expresso sob a forma decimal para podermos utilizar os algoritmos de soma, subtração, multiplicação e divisão que o sistema decimal oferece.
Uma razão bastante conhecida é a que indica a divisão “meio a meio”, isto é, cada um fica com .
Como podemos escrever essa razão de forma que expresse uma porcentagem? Encontrando uma fração equivalente com denominador 100.
Este é o famoso “cinqüenta por cento”.
Outra forma de expressar esta razão é utilizar a escrita em forma decimal: todas estas representações expressam a mesma razão.
Como expressar em porcentagem a fração
é o mesmo que 8 : 25 = 0,32. Para escrever 0,32 em forma de porcentagem, multiplicamos esse número por 100, ou seja, 0,32 x 100 = 32. Então
Em alguns casos, utilizamos a forma aproximada, pois não conseguimos uma expressão decimal exata para a fração. Por exemplo:
é aproximadamente 0,722 =  72,2%.
Se não  for necessário precisão, podemos  aproximar  esse  valor para 72%.
Qualquer razão pode ser expressa como porcentagem ou em notação decimal, e eventualmente de forma aproximada. O caminho a seguir é sempre o mesmo:
i. Executamos a divisão indicada pela fração.
ii. O número em forma decimal obtido (exato ou aproximado) corresponde à fração dada.
iii. Para transformar em razão, multiplicamos por 100 (fazendo a vírgula andar duas casas para a direita).

APLICAÇÕES DA PORCENTAGEM
Digamos que você gasta R$30,00 de luz num mês; e suponhamos que  seja  anunciado  um  aumento  de  12%  na  tarifa  desse  serviço. Gostaríamos de responder às seguintes perguntas:
a. Em quanto aumentará a minha conta?
b. Qual o total que terei de pagar?
Então,  12%  é  o mesmo  que  0,12.  Para  calcular  12%  de  30,  efetuamos a seguinte multiplicação:30,00 x 0,12 = 3,60.
O aumento será de R$3,60 e o novo valor da conta será:  30,00 + 3,60 = 33,60.
Digamos que você ganhe um salário de R$800,00 e seu patrão lhe  proponha  um  aumento  de R$72,00. Qual  a  porcentagem  deste aumento?
Já conhecemos o caminho:
Observe que R$72,00 é bem maior que R$3,60 (do exemplo anterior). Mas as porcentagens nos dois casos deixam bem clara a situação:
Esse exemplo mostra uma das maiores utilidades da porcentagem: ela  permite  comparar  o  aumento  (ou  diminuição)  de  quantidades diferentes. O aumento da tarifa de  luz foi de R$3,60 e a proposta de aumento  de  salário  é  de R$72,00. Entretanto,  proporcionalmente,  a proposta de aumento é menor do que o aumento da tarifa.
Se quiséssemos que o aumento de salário acompanhasse a tarifa (ou seja, que aumentasse na mesma proporção), teríamos de pleitear um aumento de 12% em relação aos R$800,00.
800,00 x 0,12 = 96,00

PORCENTAGENS E PRESTAÇÕES
Um caso em que as porcentagens aparecem com muita freqüência é  quando  calculamos  prestações. O tempo influencia (e muito) o valor do dinheiro. A maneira de calcular essa influência é utilizar os juros.
Comecemos com um exemplo  típico: quero comprar um rádio que custa R$50,00. O problema é que não tenho dinheiro agora. A loja se propõe a vender o rádio para que eu pague daqui a um mês com 5% de juros.
Isso quer dizer que ela vai “alugar” o dinheiro para mim, cobrando R$0,05 por mês por cada real que eu ficar devendo. No fim do mês eu estarei devendo (além dos R$50,00):
50,00 x 0,05 = 2,50.
No total, terei de pagar 50,00 + 2,50 = 52,50.
Vamos imaginar que, em vez de pagar no mês seguinte, eu pagasse um ano depois:
O meu rádio sairia bem mais caro. Esse caso é o que chamamos de “juros compostos”.

OUTRAS APLICAÇÕES
As porcentagens não  servem apenas para questões financeiras. Elas são usadas freqüentemente na Química (proporção de substâncias), na  Física  (proporção  de moléculas)  e  na Mecânica  (aproveitamento percentual de motores).
Examinemos o rótulo de uma embalagem de  leite em pó. A  lei obriga que os produtos alimentícios exibam a sua composição por meio da “Informação Nutricional”.
O que dizem as porcentagens da coluna à direita? Elas dizem, por  exemplo,  que  uma  porção  desse  leite  (usando  20g  do  produto) corresponde ao suprimento de 3% dos carboidratos correspondentes a uma dieta de 2500kcal diárias (essa é uma dieta “magra”).
Diz também que uma dose (um copo preparado com 20g desse produto)  corresponde  apenas  a  70kcal  (3%  das  tais  2500kcal  da dieta).

Aula 25 - Vamos combinar? Uma coisa? Não, muitas!
Os PCN apresentam, no bloco de conteúdo Tratamento da Informação, o seguinte objetivo como um dos conteúdos conceituais e procedimentais: “Identificação das possíveis maneiras de combinar elementos de uma coleção e de contabilizá-las usando estratégias pessoais” (BRASIL, MEC, SEF, 1997, p. 91).
Por outro lado, as pesquisas na área de Educação Matemática têm valorizado a utilização do pensamento combinatório a partir das séries iniciais.
Na  Educação  Infantil,  atividades que  envolvam  arrumação, organização de brinquedos  e  objetos  de  diferentes maneiras  estimulam  a  construção  do pensamento combinatório.

COMBINAÇÃO...UMA DAS IDÉIAS DA MULTIPLICAÇÃO
A idéia de combinação é um dos aspectos que envolve o conceito de multiplicação.
Exemplo: Uma menina possui duas blusas diferentes e três saias diferentes. De quantas maneiras distintas ele poderá se vestir?
Se escolhermos primeiro a saia, teremos para cada uma delas, duas opções de blusa. O desenho a seguir mostra uma sugestão de organização para a compreensão de todas as possibilidades existentes. Essa forma de organização chama-se árvore das possibilidades.
OS BLOCOS LÓGICOS E AS COMBINAÇÕES
Os Blocos Lógicos  são um material manipulável,  estruturado  e de grande importância para trabalhar classificação e seriação nas séries iniciais. Dizemos que ele é estruturado porque foi concebido segundo uma estrutura lógica. Possui quatro atributos, ou seja, cor, forma, espessura e tamanho. O atributo cor possui três valores: amarelo, azul e vermelho. O atributo forma possui quatro valores: triângulo, quadrado, retângulo e círculo. O atributo espessura possui dois valores: fino e grosso. O atributo tamanho também possui dois valores: pequeno e grande.

COMBINANDO COM AS RÉGUAS DE CUISENAIRE
O material didático denominado de Réguas de Cuisenaire ou Escala de Cuisenare.
É  composto  por  “réguas”  (em  forma  de paralelepípedos) de tamanho crescente de 1 a 10, em que cada tamanho está associado a uma cor. Ele é encontrado comercialmente em madeira ou em borracha. Sua forma é tridimensional, mas pode ser confeccionado em cartolina ou qualquer outro material resistente.
Normalmente, a composição do material obedece ao seguinte padrão:

Por sua composição, esse material pode ser usado para explorar adição e subtração, considerando que cada uma corresponda aos números naturais de 1 a 10.

Aula 26 - Probabilidade: uma medida da incerteza
EXPERIMENTO ALEATÓRIO
Um experimento aleatório é, aquele que podemos imaginar resultados possíveis, mas nunca conhecer o resultado antes de realizá-lo.
O lançamento de um dado é um experimento aleatório porque podemos admitir os resultados possíveis, mas não podemos, antes de jogá-lo, conhecer a face que ficará exposta.

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS
O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório  é  denominado  espaço  amostral. O  espaço  amostral  do lançamento de um dado é : {1,2,3,4,5,6}.
Qualquer  subconjunto  de  resultados  de  um  espaço  amostral denomina-se evento e representa-se por uma letra maiúscula. Tirar um número par ao lançar um dado, tirar cara ao lançar uma moeda ou tirar um naipe vermelho são exemplos de eventos dos experimentos aleatórios definidos  anteriormente  e podem  ser  representados  como: A={2,4,6}.

CALCULANDO PROBABILIDADE
A probabilidade é definida como a medida da incerteza que temos a respeito da ocorrência dos eventos, e pode assumir qualquer número racional compreendido entre zero e um, incluindo o zero e o um.
Assim,  podemos  falar  que  um  determinado  evento  tem probabilidade 0 de ocorrer; um outro tem probabilidade 0,10 ou 0,23, ou 0,92, ou 0,99; podemos dizer também que tem probabilidade 1. Fora desse intervalo, não existe probabilidade, pois essa medida foi definida desta forma.
Quando um evento é impossível, a probabilidade de ele ocorrer é zero; ou seja, a probabilidade de sair o número 7 no lançamento de um  dado,  ou  de  haver  um  naipe  verde  em  um  baralho,  são  eventos impossíveis, com probabilidade zero de ocorrência.
Quando definimos um evento que coincide com o próprio espaço amostral, ele é denominado evento certo e  tem probabilidade  igual a um.

EXPERIMENTO ALEATÓRIO X EXPERIMENTO ESTATÍSTICO
O  estatístico seria o de jogar uma moeda 100 vezes, por exemplo, e contar o número de vezes que saiu cara e o número de vezes que  saiu coroa; o experimento aleatório é aquele que não é realizado, mas que  fazemos  suposições a  respeito das probabilidades de ocorrência dos seus resultados. Essas suposições surgem a partir de observações anteriores desse mesmo  fenômeno ou a partir de alguma suposição teórica.
Em geral, utiliza-se um experimento estatístico com o objetivo de fazer suposições a respeito da probabilidade de um determinado evento.

Aula 27- Daqui para frente a palavra de ordem é: AVALIAR!
AVALIAÇÃO COMO MEDIDAA avaliação como medida está associada ao ensino visto com um processo de transmissão de conhecimento. Neste caso, avaliar o aluno é pedir que ele demonstre o quanto é capaz de reproduzir bem o que lhe foi ensinado.
Nessa visão, a preocupação inicial é com o processo de ensino e aprendizagem, avaliado ao fim de um determinado período - bimestre trimestre, semestre ou ano.
O conhecimento é visto como pronto e a aprendizagem não é um processo, não sofre adequações. Além disso, as propostas de atividades voltadas ao aluno não visam que ele produza a partir do que foi aprendido.
O insucesso do aluno, nesta visão, é responsabilidade do próprio aluno. Nessa abordagem, o respeito ao professor está relacionado ao seu poder de julgar, avaliar e atribuir notas.
Por exemplo:
Calcule o perímetro e a área dos retângulos:
A abordagem dos exercícios será mecânica, pois o aluno deverá apenas  somar  as medidas  para  calcular  o  perímetro  e multiplicar  a medida do comprimento pela medida da largura para calcular a medida área dos  retângulos. O nível de dificuldade aumenta de acordo com o tipo de conta que passa a utilizar valores decimais.
Essa abordagem confunde a aprendizagem do aluno sobre os conceitos de perímetro e área. Na hora de fazer os cálculos, ele faz diversos tipos de confusão: troca um pelo outro, soma apenas dois lados no cálculo do perímetro, já que usou dois valores na área.
As propostas feitas aos alunos privilegiam a reprodução do que foi ensinado. Essa concepção não estimula a construção do conhecimento e defende a idéia de que ele deva ser absorvido.

AVALIAÇÃO COMO DISTÂNCIA
A avaliação como distância também tem a preocupação de medir. Só que se propôs a criar instrumentos que medissem o conhecimento do aluno de modo mais rigoroso.
É fruto da pedagogia por objetivos, em que se traçavam objetivos gerais e específicos dos conteúdos. Foi conhecida também como pedagogia por objetivos e tem origem em uma visão behaviorista, trazendo a avaliação diagnostica e a avaliação formativa.
Nessa perspectiva, na avaliação considera-se como referência um conjunto de objetivos previamente definidos e separados em três domínios: cognitivos; afetivos e psicomotores; hierarquizados.
Na prática, esse modelo de avaliação ocorre da seguinte forma: primeiro faz-se um diagnóstico das falhas que os alunos têm sobre determinado conteúdo ou procedimento. Esse resultado é encarado como a distância entre o aprendizado do aluno e os objetivos traçados. Depois de determinar as causas dessa dificuldade, os alunos são submetidos a uma nova avaliação.
Voltando ao exemplo do perímetro e da área, o professor avalia se o aluno atinge o objetivo de calcular área e perímetro de quadriláteros, e faz um primeiro diagnóstico. Remedia, ou seja, desenvolve atividades, usualmente exercícios no mesmo modelo dos realizados anteriormente, e depois reavalia com situações similares às anteriores.
Essa visão de avaliação pode representar a melhora do aprendizado do aluno se o professor, na remediação, modifica a metodologia e aborda aspectos que não foram explorados anteriormente. No caso do exemplo do perímetro e da área, a avaliação serve para que o professor perceba que os alunos não sabem o conceito e replaneje suas ações enfocando esse aspecto. Mas isso não ocorre com freqüência, pois os objetivos traçados, na maioria das vezes, não têm essa visão.

AVALIAÇÃO COMO INTERPRETAÇÃO
A avaliação como interpretação deve ser feita de forma contínua, auxiliando o professor e o aluno a compreender o que ocorre com o processo, sinalizando reformulações.
Nessa visão, o professor deve interpretar, identificar problemas, gerar hipóteses explícitas, compreender as razões do erro.
A avaliação deve gerar, por si mesma, novas situações de aprendi­zagem, além de ser coerente com os objetivos, os métodos e os principais tipos de atividades do currículo. Ela tem um caráter positivo, focando aquilo que o aluno é capaz de fazer. Deve também ocorrer num ambiente de transparência e confiança, onde críticas e sugestões sejam encaradas como naturais.
Com isso, a avaliação assume um papel relevante para desenvolver no aluno uma atitude positiva e de autoconfiança em relação ao ensino da Matemática.

A AVALIAÇÃO E OS ATUAIS OBJETIVOS DO ENSINO DE MATEMÁTICA...
Os conteúdos assumem o papel central nos objetivos do ensino de Matemática e devem ser trabalhados tanto no aspecto conceitual quanto no procedimental. É necessário tomar cuidado, pois a visão de procedimento não deve ser a de acúmulo de processos, mas a de saber encontrar resultados e justificar se estes são válidos ou não, selecionando os procedimentos adequados e utilizando-os corretamente. Também é necessário produzir argumentos consistentes.
Nessa perspectiva, a avaliação é vista como parte desse processo. Assim sendo, é fundamental que ela dê ao aluno a oportunidade de ler, refletir, relacionar, operar mentalmente e verificar situações mais complexas. Por outro lado, deve possibilitar que o professor reflita sobre seu trabalho, reformule-o e vise novas propostas.
O educador deve estar atento para que as estratégias utilizadas não meçam o desempenho do aluno, mas permitam um processo amplo na busca de novos caminhos para a construção do conhecimento.
Exemplo 1: Pedro tinha 8 bolinhas de gude, jogou uma partida e perdeu 3. Com quantas bolinhas ficou?
 Exemplo 2: Pedro jogou uma partida de bolinha de gude. Na segunda partida, perdeu 3 bolinhas, ficando com 5 no final. Quantas bolinhas Pedro ganhou na primeira partida?
O Exemplo l envolve uma ação direta sobre as operações de adição e de subtração. Em contrapartida, o Exemplo 2 exige uma compreensão mais ampla dessas duas operações. E importante que nosso trabalho contemple o mesmo conteúdo em situações-problema e que não se diferencie apenas pelo contexto, mas pela maneira como exige a compreensão do aluno.
Os dois problemas são referentes ao 1° ciclo do Ensino Fundamental e, de acordo com os PCN de Matemática, o critério de avaliação relacionado é resolver situações-problema que envolvam contagem e medida, significados das operações e seleção de procedimentos de cálculo.
A maneira como se dá a aula de Matemática contribui para as avaliações. Ao prever a participação oral ou escrita do aluno, o professor pode acompanhar mais de perto o que eles fazem e pensam. Isso permite avaliar tanto o que os alunos desenvolvem quanto se o trabalho contempla as diferentes abordagens do assunto estudado.
Os conteúdos continuam sendo o foco principal. A diferença é a função que eles desempenham e os objetivos que devem nortear a sua seleção e avaliação.

AVALIAÇÃO NA PERSPECTIVA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMA
O que queremos avaliar nos problemas?
1.  capacidades de raciocínio dos alunos;
2.  capacidades de selecionar e usar estratégias de resolução de problemas;
3. atitudes e concepções úteis sobre resolução de problemas;
4. capacidades de usar conhecimentos relacionados (com um dado problema);
5.  capacidades de avaliar o próprio raciocínio e progresso na resolução de um problema;
6.  capacidades de resolver problemas em situações de aprendi­zagem cooperativa;capacidades de encontrar repostas corretas numa variedade de tipos de problemas   (ABRANTES, 1997, p. 51)
A partir do quadro, alguns estudos em Educação Matemática buscam criar instrumentos para analisar a resolução dos alunos. Um deles chama-se Escala holística focada, apresentada por Abrantes (1995).
Esta escala analisa uma situação-problema, apresentando uma variação de O a 4 pontos, veja:

Quadro 27.4: Escala holística focada
O PONTOS.
Trabalhos que têm uma das seguintes características:
-  Estão em branco.
-  Os dados foram apenas copiados do enunciado, mas não há qualquer trabalho com esses dados, ou há algum trabalho mas não parece haver compreensão do problema.
-  Apresentam simplesmente uma resposta incorreta.

1 PONTO.
Trabalhos que têm uma das seguintes características:
-  Há um começo de trabalho para além da simples cópia dos dados refletindo alguma compreensão, mas a estratégia usada não conduziria a uma solução correta.
-  Uma estratégia inadequada foi começada, mas não desenvolvida e não há evidência de que o aluno tenha tentado outra. Parece que o aluno tentou uma estratégia que não funcionou e então desistiu.
-  O aluno tentou alcançar um sub-objetivo do problema, mas não conseguiu.

2 PONTOS.
Trabalhos que têm uma das seguintes características:
-  O aluno usou uma estratégia inadequada e chegou a uma resposta incorreta, mas o trabalho mostra alguma compreensão do problema.
-  Foi usada uma estratégia adequada, mas: (a) ela não foi suficientemente desenvolvida para chegar a uma solução (por exemplo, o aluno apenas considerou duas entradas numa tabela); ou (b) ela foi implementada incorretamente e por isso não conduziu a qualquer resposta ou conduziu a uma resposta incorreta.
-  O aluno alcançou um sub-objetivo do problema, mas não foi mais longe.
-  Apresenta uma resposta correta, mas: (a) o trabalho é incompreensível; ou (b) não apresenta qualquer trabalho a não ser a solução.

3 PONTOS.
Trabalhos que têm uma das seguintes características:
- O aluno implementou uma estratégia que poderia conduzir a uma resposta correta, mas não compreendeu uma parte do problema ou ignorou uma condição.
-  Foram usadas corretamente estratégias adequadas, mas: (a) o aluno apresenta uma resposta incorreta sem que se compreenda porquê; ou (b) foi dada corretamente a parte numérica da resposta, mas ela não está bem indicada; ou (c) falta apenas a resposta.
-  Foi dada uma resposta correta e há alguma evidência de terem sido selecionadas estratégias adequadas. Contudo, a implementação das estratégias não é totalmente clara.

4 PONTOS.
Trabalhos que têm uma das seguintes características:
-  O aluno cometeu um erro ao desenvolver uma estratégia adequada, mas esse erro não reflete falta de compreensão, nem do problema, nem do modo de implementar a estratégia, parecendo ser apenas um erro de cálculo ou cometido ao copiar o enunciado.
-  Estratégias adequadas foram selecionadas e implementadas. Apresenta uma resposta correta.
(ABRANTES, 1995, pp. 54-55)

Aula 28 - É agora ou nunca! Escolha seus instrumentos para... Avaliar
CONTRATO DIDÁTICO
É importante que o aluno saiba quais instrumentos serão utilizados na  avaliação  e que os objetivos  estejam  claros. É bastante  comum o aluno  reivindicar  pequenos  detalhes  numa  prova,  pois  julga  o  erro irrelevante. Do ponto de vista do aluno, isso realmente será verdadeiro se anteriormente o professor não construiu objetivos na resolução de outras  questões  durante  as  aulas. As  crianças muito  pequenas  ainda não têm a capacidade de avaliar esses objetivos. Nesse caso, os pais são responsáveis pela negociação.
Por mais democráticas que sejam as negociações desse contrato didático, o professor é quem determina o leque de opções. Esse contrato deve  ser negociado durante o processo  letivo,  sem perder de vista as cobranças  burocráticas  e  o  tempo  vigente  das  escolas,  bimestral  ou trimestral, para fechar uma nota, conceito ou relatório. Se o professor utiliza a avaliação como  interpretação, que pressupõe a avaliação de forma contínua, o momento de parada deve considerar as potencialidades futuras dos alunos.
Quando  o  professor  utiliza  uma  avaliação  contínua  e coerente com sua prática, ele poderá identificar os objetivos atingidos imediatamente e os que poderão ser atingidos depois.

INSTRUMENTOS DE AVALIAÇÃO: QUALITATIVOS E (OU) QUANTITATIVOS?
O avanço das  ciências  sociais  e humanas veio mostrar a fragilidade desses instrumentos, pois se é verdade que tudo existe numa quantidade que se pode medir, é verdade também que o que se passa no interior de cada um não pode ser medido por um observador exterior .
Daí  resulta  a  dúvida  entre  as  pessoas  que,  no  desejo  de  tudo objetivar, defendem os métodos quantitativos e aquelas que, preferindo contextualizar o indivíduo e descrevê-lo a partir dos dados colhidos na observação direta, optam pelos métodos qualitativos.
A  qualitativo  alguns  associam  não    empatia  e  abertura  aos valores, mas também a possibilidade de um aprofundamento que permita a compreensão da realidade na sua dimensão e complexidade, enquanto outros  lhe  associam  subjetividade,  fantasia  e  pouca  confiabilidade.
A  quantitativo, os primeiros associam desumanização, empobrecimento e subjetividade não assumida, enquanto os outros lhe associam precisão, objetividade e seriedade no processo.
Por mais rigor que os professores queiram dar aos instrumentos de avaliação, a subjetividade está inevitavelmente presente: na escolha que se faz dos itens, no modo como se apresentam, na linguagem que se utiliza. A leitura que o avaliador pode fazer das respostas do avaliado, as  expectativas  que  tem  em  relação  a  elas  são,  ainda,  carregadas  de subjetividade. Aceitar a subjetividade em avaliação é ainda a forma mais eficaz de  tentar controlá-la, evitando a  ilusão de que a objetividade é possível e de que o aluno é aquilo que o teste mede. Não sendo possível eliminar a subjetividade, é desejável tentar diminuí-la e uma forma de se conseguir isso é confrontar cada vez mais as diversas subjetividades que surgem no processo de avaliação, por meio da diversificação dos instrumentos utilizados.

A DIVERSIDADE DOS INSTRUMENTOS
Existem, em qualquer instrumento de avaliação, alguns aspectos aos  quais  precisamos  estar  atentos. Eles  são  a  escrita,  a  oralidade, o  desenho,  pois  cada  aluno    preferência  a  uma  dessas  formas  de comunicação. Dentro  desses  aspectos,  podemos  pedir  ao  aluno  para resumir, completar, classificar, comparar, refazer etc.
O contexto em que o instrumento é aplicado influencia também o  desempenho  do  aluno.  Se  alguns  indivíduos  gostam  de  trabalhar isoladamente e  têm bons  resultados em  testes escritos, outros podem acusar bloqueios perante uma folha de papel em branco, sentindo sobre si o olhar do professor.  Isto não quer dizer que se deva construir um instrumento de avaliação para cada aluno. No entanto, a diversificação não    é desejável  como possível. A  tentativa de  avaliar  com  justiça nos leva à criação de outros tipos de instrumentos e até à utilização de ferramentas tradicionalmente ligadas a outras áreas, como entrevistas, relatórios, portfólios, apresentações etc.

EXISTE UM INSTRUMENTO QUE SEJA MELHOR DO QUE OS OUTROS?
Não há um único instrumento de avaliação que dê uma resposta completa e clara do processo de aprendizagem dos alunos, pois um mesmo problema, quando apresentado de  forma diferente, conduz a níveis de realização diferentes; uma mesma  resposta  lida por  alunos diferentes pode ter interpretações diversas que resultam, por vezes, em avaliações divergentes. Além disso, o mesmo professor, em momentos diferentes, está sujeito a ler diferentemente as mesmas respostas dos alunos.
A dificuldade de escolha de um instrumento de avaliação depende do  contexto de  realização  e das variáveis que  interagem: os aspectos sociais,  emocionais  e  do  ambiente  pedagógico. Os  alunos  reagem diferentemente aos  mesmos instrumentos porque é diferente a maneira como os interpretam e como os aceitam.
A utilização repetida e exclusiva de um mesmo tipo de instrumento de avaliação não permite ver o indivíduo sob todos os ângulos, o que pode induzir a erros graves.
É importante que a avaliação seja um tema a ser debatido por todos os professores, e que esteja inserida no projeto político-pedagógico da escola. A utilização de diferentes formas de avaliação busca contemplar o máximo de aspectos possíveis.

ALFABETIZANDO MATEMATICAMENTE
Se entendermos alfabetização como um processo, a avaliação dos professores em relação aos seus alunos segue apontando avanços e detectando os obstáculos na aprendizagem.
Na Educação Infantil, e nas séries iniciais do Ensino Fundamental, o professor deve proceder em relação à Matemática da mesma forma, ou  seja,  identificando  avanços  e  obstáculos  na  aprendizagem.  Para isso,  é preciso que o professor  conheça os  conceitos que  envolvem a alfabetização matemática.
Os  avanços  e obstáculos dos  alunos devem  ser  registrados  em relação a cada um dos objetivos traçados pelo professor. Um instrumento interessante que atende a essa expectativa é o portfólio.
O  importante  é  que  os  registros  não  sejam  guardados aleatoriamente. O  professor  deve  ter  objetivos  específicos,  assim  ele poderá re-planejar ações para inserir novos elementos, atividades, a fim de corrigir os rumos de aprendizagem dos alunos.

TRABALHOS: EM GRUPO OU INDIVIDUAL?
Mais uma vez, o importante é a diversidade. Cada tipo de trabalho explora  características  específicas  e  demanda  habilidades  próprias. Assim  como  no  trabalho  individual, queremos  observar  o  poder  de concentração, a escrita e registro individual, a organização espacial.
Trabalhar em grupo é mais do que sentar juntos ou colocar o nome no mesmo trabalho. Quando o professor propõe um trabalho em grupo na sala de aula, ele precisa  interferir para que os alunos efetivamente trabalhem em grupo. Mas isso não é tarefa simples. Diferentes aspectos devem ser considerados.
Dentre as muitas vantagens que podemos citar do trabalho em grupo está o fato de que, em turmas grandes, você reduz o número de atendimentos. Porém, para isso é necessário que haja interação entre os participantes do grupo e o estabelecimento de algumas regras.
Uma estratégia interessante é combinar com os alunos que todos devem  tentar  resolver  a  questão  antes  de  consultar  o  professor.
Acreditamos que quatro participantes é um bom número, pois possibilita interação entre os componentes. Quando esse número cresce, a tendência é a formação de subgrupos.
A formação dos grupos é, por vezes, um ponto bastante delicado. É comum os alunos formarem grupos de acordo com suas afinidades e, em princípio, não há nenhum mal nisso. É importante o professor observar o desenvolvimento do  trabalho e  fazer mudanças quando necessário. Mas atenção! O melhor caminho ainda é a negociação. Evite a criação de embates, pois o aluno pode ficar incomodado  a ponto de a situação se tornar um obstáculo no aprendizado.
Também  é  importante  estar  atento  aos  alunos  diferentes:  os muito agitados, os muito dispersos ou os que tenha alguma deficiência.É preciso que eles sintam-se parte integrante do grupo.

Aula 29 - Alguns livros didáticos têm estrelas. Avalie você mesmo!
Recomendadas com distinção (RD)
São obras consideradas bastante próximas do ideal representado pelos princípios e critérios definidos. São avaliadas como propostas pedagógicas elogiáveis, criativas e instigantes.
Recomendadas (REC)
São aquelas que cumprem plenamente todos os requisitos de qualidade exigidos no processo de avaliação. Segundo os avaliadores, essas obras asseguram ao professor a possibilidade de um trabalho didático correto e eficaz.
Recomendadas com ressalvas (RR)
São  obras  avaliadas  como  isentas  de  erros  conceituais  ou  preconceitos, obedecendo aos critérios mínimos de qualidade, mas que contêm algumas limitações. Desse modo, podem subsidiar um trabalho adequado, desde que o professor esteja atento às observações, consulte bibliografias para revisão e complemente a proposta.

A IMPORTÂNCIA DO PROFESSOR NA AVALIAÇÃO E A ESCOLHA DO LIVRO DIDÁTICO
O que acontece de maneira geral é que o livro didático cristaliza certos percursos, determinando assim o  currículo de Matemática da  escola. Sua utilização, na maioria dos casos, ocorre sem grandes alterações ou intervenções, e, dessa forma, o professor torna-se um mero coadjuvante na utilização do livro.
Os professores devem ser os agentes na definição do currículo de Matemática; e, nas escolas, devem promover debates sobre os recursos pedagógicos  que  poderão  ser  utilizados  em  complemento  ao  livro didático. Esses materiais diversificados devem levar em consideração a realidade de cada comunidade, suas características sociais e culturais.
O processo de escolha do livro, que acontece de quatro em quatro anos – regra estabelecida pelo PNLD – é algo muito importante e decisivo para a equipe de professores e, portanto, exige dos educadores envolvidos uma grande responsabilidade e atenção.
O livro didático, no Brasil,  é o mais importante instrumento de apoio ao trabalho do professor, mas não deve ser o único; e mesmo o melhor dos livros pode ter exercícios e atividades substituídos, alterados ou complementados por você. Sempre que puder e necessitar, você deve lançar mão de textos complementares, ou para aprofundar conteúdos, suprir lacunas, ou para completar e ampliar informações.

IMPORTANTES ASPECTOS DA MATEMÁTICA A SEREM OBSERVADOS NOS LIVROS DIDÁTICOS
De modo  geral,  até  bem  pouco  tempo,  a  grande maioria  dos livros didáticos de Matemática fundamentava a sua proposta pedagógica principalmente na memorização de conteúdos e na manipulação mecânica de algoritmos.
Concordando ou não com a ação do governo federal de avaliar os livros didáticos, houve uma melhora considerável na forma de apresentar os conceitos matemáticos. Atualmente, o professor pode dispor de livros em que as atividades principais nas aulas de Matemática não são as de memorização ou de aplicação mecânica de procedimentos.
O bloco Tratamento da Informação ganhou força e abordagens diferenciadas, pois novos conteúdos e atividades foram incorporados a esses livros, como a leitura, a interpretação e a elaboração de gráficos e tabelas. Em alguns livros, assuntos referentes a esse bloco, como raciocínio combinatório, probabilidade e estatística, vêm em capítulos separados; já  em  outras  obras,  esses  tópicos  aparecem  ao  longo  dos  capítulos. É importante que os professores discutam os dois encaminhamentos e decidam qual o mais adequado à sua “realidade”.
Os  avaliadores  apontam  que,  de maneira  geral,  o Tratamento da Informação fica isolado em capítulos estanques, em vez de permear toda a obra; assim, não há uma articulação e integração entre os quatro blocos da Matemática escolar.
Observe  que  apesar  da  indicação  dos  avaliadores  de  que  os conteúdos  devem  permear  toda  a  obra,  autores  que  apresentam a Matemática  em  blocos  separados  também  possuem  suas  obras recomendadas com distinção.
A Geometria é uma parte do programa que deve ser bem analisada pelos professores nos livros didáticos, pois os avaliadores dizem que, no trabalho com Grandezas e Medidas, ainda se privilegia a memorização da nomenclatura das relações entre múltiplos e submúltiplos das unidades padronizadas, sem se preocupar em desenvolver o conceito de grandeza e da operação complexa de medir. Já no bloco Espaço e Formas, nota-se ênfase na identificação e nomenclatura das figuras planas e espaciais, em detrimento de atividades experimentais de manipulação e construção.
É importante que você, ao ler atividades que envolvam Geometria, verifique se são trabalhados os seguintes objetivos:
• Montar e desmontar figuras tridimensionais, através de recortes, dobraduras e colagens.
• Utilizar nomenclatura adequada das figuras e dos objetos geométricos.
• Estabelecer relações entre figuras planas e tridimensionais.
• Compor e decompor figuras planas, utilizando quebra-cabeça.
• Identificar propriedades de figuras planas e dos sólidos geométricos.
Falando agora sobre  frações, os avaliadores dizem que a abordagem desse tema é, por vezes, dei ciente, com poucas atividades que propiciem a  sua compreensão, como números, e com a apresentação precoce de tópicos, como a divisão de fração por fração.
Outro aspecto levantado pelos avaliadores é a formalização dos conceitos ou algoritmos que, muitas vezes, é prematura e feita com base em poucos exemplos e atividades.
Fique atento para as situações que envolvam material concreto (dinheiro, material dourado, balas etc.) e atividades em que se trabalha com estimativas, pois são pontos importantes de serem trabalhados nos livros didáticos.
Outro aspecto que você precisa levar em conta é a forma como são trabalhadas as atividades lúdicas, principalmente os jogos. É importante observar se o autor, ao desenvolvê-las, transforma a vivência adquirida pelos alunos em conhecimento matemático sistematizado.

CONHECENDO OS CRITÉRIOS DEFINIDOS PELO PNLD
O PNLD analisa e avalia as coleções produzidas pelas editoras antes de comprá-las, para assim garantir a qualidade dos materiais.
Após essa avaliação, é publicado o GUIA DE LIVROS DIDÁTICOS de 1ª a 4ª série, distribuído às escolas para servir como instrumento auxiliar na escolha do livro pelo professor.
Esse  guia  é  a  síntese de um  criterioso processo de  avaliação  e assegura a qualidade da escolha das obras que o professor e os alunos irão usar. Depois de a escola selecionar as obras, elas são enviadas e só serão substituídas novamente quatro anos depois. Portanto, para que essa decisão reflita um consenso de toda a equipe escolar, o governo incentiva a  realização de amplos debates a partir das  informações  contidas no Guia de Livros Didáticos.

CONHECENDO MELHOR OS CRITÉRIOS...
Critérios eliminatórios
Um  dos  principais  critérios  utilizados  pelos  avaliadores  para excluir um livro é a presença de erros conceituais, de indução ao erro ou de confusão conceitual, em que conceitos distintos são relacionados de maneira  errada  ou  confusa. Segundo  os  avaliadores,  o  livro  didático  deve  ter  adequação e  coerência metodológicas  e  o  desenvolvimento metodológico  deve contemplar estratégias que mobilizem e desenvolvam várias competências cognitivas  básicas, como  observação,  compreensão,  argumentação, organização,  análise,  síntese, comunicação  de  idéias matemáticas, planejamento, memorização etc. Em relação à contribuição para a construção da cidadania, o livro didático não pode veicular, nos  textos e nas  ilustrações, preconceitos que levem a discriminações de qualquer tipo, nem ser um instrumento de propaganda ou doutrinação religiosa, pois dessa forma desrespeita o caráter leigo do ensino público.

Critérios classificatórios
Em relação ao aspecto visual, o texto e as ilustrações devem estar dispostos de forma organizada, com ritmo e continuidade, dentro de uma unidade visual. Um dos objetivos das ilustrações é despertar no aluno uma ação investigativa, que estimule questionamentos, raciocínios e conjecturas. É importante a utilização de diferentes códigos, como o verbal, o oral, o  gráfico, o de  forma, pois dessa maneira  é possível  apresentar uma maior diversidade de situações didáticas.Os avaliadores consideram fundamental que o livro didático venha acompanhado de orientações que explicitem os pressupostos  teóricos ao  professor. Esses  pressupostos,  por  sua  vez,  deverão  ser  coerentes com a apresentação dos conteúdos e as atividades propostas no  livro do aluno.
Segundo  eles,  o  texto  não  deve  subestimar  nem  superestimar o aluno. Por exemplo, ele subestima quando desconsidera a riqueza e a variedade de experiências e interesses que o aluno traz para a escola ou quando apresenta situações, problemas e atividades que não exercitam sua imaginação e criatividade; por outro lado, o aluno é superestimado quando o  texto o  supõe capaz de um  raciocínio abstrato plenamente desenvolvido, e apresenta a Matemática de um ponto de vista formal, sem exploração de seus significados; ou quando o texto usa uma linguagem acima da compreensão de sua faixa etária.

COMO APLICAR ESSES CRITÉRIOS?
Para  facilitar a avaliação do  livro didático pelo professor,  é  interessante que você elabore uma ficha em que possa avaliar os diversos aspectos apontados.

Aula 30 - Vamos promover um debate sobre o uso de jogos, TV, vídeo e software no ensino de Matemática?
ANTES DE COMEÇAR: ALGUMAS CARACTERÍSTICAS DA MATEMÁTICA QUE VAMOS ENSINAR
O  conhecimento matemático  no  Ensino Fundamental tem duas características importantes:
  É  seqüencial.  Estudamos  os  conteúdos  na  ordem  em  que apareceram (por exemplo: números naturais, inteiros, racionais e reais).Isso  não  quer  dizer  que  estudamos  tais  conteúdos  da mesma forma como eles foram criados. Um dos exemplos mais importantes é o do sistema decimal – não faria o menor sentido para o aluno de hoje aprender Aritmética com os algarismos romanos. Mas os conteúdos são, em geral, os mesmos e apresentados em seqüência histórica.
• É cumulativo. À medida que o tempo foi passando, os conteúdos foram  acrescentados,  resultando  num  acúmulo  de  conhecimentos, concentrado especialmente nas séries finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio. Esse acúmulo, de certa forma, também pressiona as primeiras séries do Ensino Fundamental, pois a exigência em relação a elas passou a ser bem maior.
As conseqüências dessas duas características são visíveis quando observamos nossos currículos. O professor das primeiras séries do Ensino Fundamental tem a missão de transmitir a seus alunos os conhecimentos que o homem levou séculos para produzir.
Nessas séries não é preciso muito esforço para justificar o ensino da Matemática. Qualquer pessoa precisa conhecer, por exemplo, as operações aritméticas
e as técnicas de medida para exercer a sua cidadania.
Nas  séries  posteriores,  essa  utilidade  não  é  tão  evidente, mas podemos identificar, em qualquer nível, alguns valores importantes para o conhecimento matemático.Resumido da seguinte forma:
• Valores  presentes    aqueles  que  têm  utilidade  imediata.  São exemplos disso as operações aritméticas com números naturais e o uso correto do sistema decimal.
• Valores futuros – nossos alunos não estão destinados a terminar seus estudos conhecendo apenas as operações fundamentais. Esperamos que a sua trajetória os conduza a um aperfeiçoamento. Os conteúdos que ensinamos nas primeiras séries do Ensino Fundamental  têm a  função (também) de preparar o terreno para os conhecimentos que virão.
• Valores associados ao desenvolvimento cognitivo – ao fazermos uso do raciocínio matemático, estamos exercitando nossa capacidade de aprender. Na idade em que nossos alunos estão – entre 5 e 9 anos – é muito importante submeter essa capacidade a constantes desafios, sempre com o cuidado de oferecer meios para que os obstáculos sejam superados.

POR QUE O DEBATE?
Os  computadores  são mais  recentes  do  que  as  calculadoras  e a  discussão  sobre  a  sua  validade  como  ferramenta  ainda  está  acesa. Eles são muito mais potentes e os argumentos, temores e entusiasmos são de natureza  e  intensidade diferentes. Ninguém duvida de que os computadores  têm  lugar no  ensino da Matemática. No  entanto,  esse lugar ainda não está definido.

COMEÇANDO O DEBATE: COMPUTADORES
Os  computadores  são  equipamentos  caros  e  o manejo  dos programas requer um longo de aprendizado. Os professores ainda não têm acesso a eles nem proficiência no seu uso. Principalmente, não existe consenso  sobre exatamente em que aspectos nossos alunos podem  se beneficiar do uso da Informática.
É preciso que os professores tenham acesso a computadores,  o  que,  para  a  grande maioria,  isso  ainda  não  é  viável. O motivo principal é que os computadores não foram feitos, inicialmente, para a escola.
É mais fácil encontrar computadores em escolas particulares, cujos alunos normalmente possuem alto poder aquisitivo e, na maioria das vezes, já têm acesso a computadores. Para evitar o aprofundamento das diferenças sociais, é necessário haver uma política pública que permita o acesso de professores e alunos a máquinas e programas.
Alguns setores da sociedade têm trabalhado para que isso aconteça, mas  as  iniciativas  governamentais  são  ainda  tímidas  e  seguramente insuficientes. Algumas ONG’s (organizações não-governamentais) têm procurado suprir a falta de máquinas e de capacitação, através da ação conhecida como “inclusão digital”.

O QUE SE DIZ DOS COMPUTADORES
Duas afirmações correntes sobre computadores, pois elas retratam um tipo de visão nem sempre produtiva.
• “As crianças aprendem sozinhas. Elas se sentam e, quando nos damos conta, já estão sabendo fazer tudo”.Certamente nossos alunos estão em uma fase de desenvolvimento cognitivo intenso e absorvem com facilidade o que lhes é apresentado, desde  que  estejam motivados. Assim,  os  programas  simples    ou  as ferramentas mais  simples  de  um  programa    que  tenham  funções intuitivas e  favoreçam um comportamento de “tentativa e erro”, não oferecem grandes obstáculos a uma criança plena de curiosidade por uma máquina complexa como o computador. Utilizar  um  programa  para  escrever  um  texto  não  é complicado, mas a construção de idéias não está incluída no pacote.
No ensino da Matemática, é interessante ter um programa que produza gráficos, mas isso não garante que o aluno esteja  compreendendo  essa  construção  e muito menos o  significado dos gráficos.
• “Hoje em dia não se pode ter uma escola sem computadores”Isso  não    é  possível, mas  também muito  freqüente. A escola, na verdade, pode apresentar uma enorme gama de atividades, e algumas delas podem consistir em utilizar os computadores.É desejável que os alunos, professores  e  todos os membros da sociedade tenham acesso a computadores. Isso possibilita a prevenção da distância social, e oferecer tal acesso deveria ser uma preocupação de qualquer sociedade que esteja interessada em seu futuro.
A escola, nesse ponto, pode até ser um meio privilegiado de difusão da Informática, afinal, ela alcança toda a sociedade, em maior ou em menor grau. Entretanto, a responsabilidade de fornecer acesso ao mundo digital não deve ser exclusividade dela.

MATEMÁTICA E ALGORITMOS
Nosso mundo está povoado de máquinas que usam ALGORITMOS.
ALGORITMO: Seqüência de procedimentos que devem ser realizados para obter um determinado resultado. Os programas de computador são algoritmos, escritos em uma linguagem que os computadores possam “compreender”.
Devemos  ter  um  olhar  crítico  para  o  uso  de máquinas  nos primeiros anos do Ensino Fundamental, mas  trabalhar  com algoritmos é parte da Matemática, não se trata, portanto, de um manual de uso de computadores. O pensamento algorítmico pode  e deve  ser introduzido de forma educacionalmente pertinente, de maneira a formar cidadãos aptos a viver num mundo em que a cultura dos procedimentos seqüenciais se torna rapidamente um padrão. Basta pensar em uma caixa de banco, em aparelhos de fax, vídeo, DVD e assim por diante. Até máquinas de lavar usam procedimentos seqüenciais...
Pedir a nossos alunos que mostrem como resolvem os problemas –  e  não  apenas  a  resposta  certa    favorece  uma  atitude  que  leva  a reconhecer que a  solução de um problema pode até  ser um número, contudo, para  chegar a  ele, dependemos de procedimentos. Por  isso, conhecer tais procedimentos (os algoritmos) é importante.
É impossível saber todos os algoritmos, mas alguém que já  tenha passado pela  experiência de  explicar  essa operação  (mesmo que de maneira informal, como convém a crianças) terá mais condições de compreender as seqüências das quais depende o uso de computadores e máquinas de processamento digital.

JOGOS ELETRÔNICOS: UMA INDÚSTRIA SEM FINS EDUCACIONAIS
Um fato importante e freqüentemente omitido da discussão sobre jogos e Educação é que eles (da mesma forma que a televisão e o vídeo) não tiveram inicialmente função educativa.
 A indústria dos jogos é uma das mais lucrativas da economia e é ingênuo pensar que chegaram a esse ponto privilegiando a educação. A forma de trabalho é a mesma que funciona na maior parte da indústria de entretenimento: criar clientes e mantê-los por intermédio de apelos aos sentidos, sem se importar com o desenvolvimento cognitivo ou com os conteúdos.
Eles  são  feitos  para  prender  a  atenção;  logo,  não  há interesse  pela  descoberta, mas  pelo  apelo  sensorial. As  habilidades desenvolvidas são motivadas por tais apelos e estão, novamente, muito mais ligadas à capacidade de treinamento do que ao desenvolvimento de conhecimentos.
Isso não é necessariamente ruim. Destreza, adaptação a sistemas, interação com equipamentos que trabalham com algoritmos, tudo isso são habilidades requeridas em nossa época.
Talvez pela sua ligação com algoritmos (os jogos são programas de computador), algumas pessoas acreditam que o uso dos jogos desenvolve o raciocínio. Essa afirmação é bem vaga, pois o desenvolvimento de algum tipo de coordenação motora (apertar botões respondendo a estímulos) não significa desenvolvimento intelectual do raciocínio, mas apenas um tipo de prontidão específica.

VÍDEOS E TELEVISÃO
A televisão hoje faz parte da vida de todos os cidadãos, e a sua capacidade de trazer imagens de qualquer lugar e sobre qualquer assunto até bem perto de nós pode ser de utilidade quando se pensa em informação e educação. A educação matemática não é exceção. Porém, para um uso eficaz da televisão e do vídeo em nossa sala de aula, é preciso definir os seus papéis.

O QUE SIGNIFICA “USAR UM VÍDEO” EM SALA DE AULA?
O vídeo e a TV são tecnologias modernas, mas já incorporadas ao uso cotidiano. Não são as únicas tecnologias à disposição para dar uma aula: livros, cadernos, canetas, lápis, quadros-de-giz e painéis são também materiais tecnológicos e cada um tem sua forma específica de utilização.
Eles podem também apresentar um professor dando aula! Bem, essa característica, apesar de útil, não substitui uma aula com situações de dúvida, controvérsia, discussão e todo tipo de interação entre alunos e entre alunos e professores. A TV e o vídeo exigem uma atitude diferente, um comportamento passivo por parte de quem assiste a eles. Para usá-los em sala de aula devemos estar prontos a transformar esse comportamento em uma atitude ativa de aprendizagem.
Se vamos usar o vídeo e a TV em nossas aulas, teremos de pensar com  cuidado  em que  tipo de atividades  eles vão  se  encaixar,  em que situações eles nos oferecerão vantagens e, mais exatamente, que vantagens são essas.

UMA REFERÊNCIA IMPORTANTE: A TV ESCOLA
Todas  as  escolas  do  Brasil  têm,  há muito  tempo,  acesso  ao sistema da TV Escola, da Secretaria de Educação à Distância do MEC.
A TV Escola não tem condições de copiar vídeos para as escolas e  professores.  Entretanto,  as  transmissões,  cuja  programação  é previamente  anunciada,  podem  ser  gravadas,  arquivadas  e  utilizadas pelo professor sem nenhum entrave legal – enfim, não é “pirataria”.

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